Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61939 / 12870
↖ ↑ ↗
← N 73.115375°
E160.241089°		 ← 177.40 m → N 73.115375°
E160.246582°		 →
↑
177.43 m
↓
↑
177.43 m
↓
N 73.113779°
E160.241089°		 ← 177.42 m →
31 478 m²		 N 73.113779°
E160.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945121765136719 y=0.196388244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945121765136719 × 216)
    floor (0.945121765136719 × 65536)
    floor (61939.5)     		tx = 61939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196388244628906 × 216)
    floor (0.196388244628906 × 65536)
    floor (12870.5)     		ty = 12870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61939 / 12870 ti = "16/61939/12870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61939/12870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61939 ÷ 216
    61939 ÷ 65536     		x = 0.945114135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12870 ÷ 216
    12870 ÷ 65536     		y = 0.196380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945114135742188 × 2 - 1) × π
    0.890228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79673460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196380615234375 × 2 - 1) × π
    0.60723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90769685727975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79673460} λ = 2.79673460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90769685727975))-π/2
    2×atan(6.73755336824962)-π/2
    2×1.4234501780094-π/2
    2.84690035601881-1.57079632675     		φ = 1.27610403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79673460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.241089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27610403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.115375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61939 KachelY 12870 2.79673460 1.27610403 160.241089 73.115375
    Oben rechts KachelX + 1 61940 KachelY 12870 2.79683047 1.27610403 160.246582 73.115375
    Unten links KachelX 61939 KachelY + 1 12871 2.79673460 1.27607618 160.241089 73.113779
    Unten rechts KachelX + 1 61940 KachelY + 1 12871 2.79683047 1.27607618 160.246582 73.113779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27610403-1.27607618) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dl = 177.43234999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27610403-1.27607618) × R
    2.78499999999404e-05 × 6371000     		dr = 177.43234999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79673460-2.79683047) × cos(1.27610403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290445425278639 × 6371000     		do = 177.400513612638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79673460-2.79683047) × cos(1.27607618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290472074595905 × 6371000     		du = 177.416790689702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27610403)-sin(1.27607618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290445425278639-0.290472074595905)×R²
    abs(2.79683047-2.79673460)×2.66493172657034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66493172657034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66493172657034e-05×40589641000000     		ar = 31478.0340633686m²