Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61937 / 74481
↖ ↑ ↗
← S 23.848162°
W  9.884949°		 ← 279.35 m → S 23.848162°
W  9.882202°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
S 23.850674°
W  9.884949°		 ← 279.34 m →
78 023 m²		 S 23.850674°
W  9.882202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472545623779297 y=0.568248748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472545623779297 × 217)
    floor (0.472545623779297 × 131072)
    floor (61937.5)     		tx = 61937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568248748779297 × 217)
    floor (0.568248748779297 × 131072)
    floor (74481.5)     		ty = 74481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61937 / 74481 ti = "17/61937/74481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61937/74481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61937 ÷ 217
    61937 ÷ 131072     		x = 0.472541809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74481 ÷ 217
    74481 ÷ 131072     		y = 0.568244934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472541809082031 × 2 - 1) × π
    -0.0549163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17252490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568244934082031 × 2 - 1) × π
    -0.136489868164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.428795567101402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17252490} λ = -0.17252490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.428795567101402))-π/2
    2×atan(0.651293061300635)-π/2
    2×0.57728368975519-π/2
    1.15456737951038-1.57079632675     		φ = -0.41622895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17252490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.884949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41622895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.848162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61937 KachelY 74481 -0.17252490 -0.41622895 -9.884949 -23.848162
    Oben rechts KachelX + 1 61938 KachelY 74481 -0.17247696 -0.41622895 -9.882202 -23.848162
    Unten links KachelX 61937 KachelY + 1 74482 -0.17252490 -0.41627279 -9.884949 -23.850674
    Unten rechts KachelX + 1 61938 KachelY + 1 74482 -0.17247696 -0.41627279 -9.882202 -23.850674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41622895--0.41627279) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dl = 279.30464000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41622895--0.41627279) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dr = 279.30464000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17252490--0.17247696) × cos(-0.41622895) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914620129296126 × 6371000     		do = 279.348529809144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17252490--0.17247696) × cos(-0.41627279) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914602403280143 × 6371000     		du = 279.343115827595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41622895)-sin(-0.41627279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914620129296126-0.914602403280143)×R²
    abs(-0.17247696--0.17252490)×1.77260159828219e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.77260159828219e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.77260159828219e-05×40589641000000     		ar = 78022.5844902521m²