Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61936 / 39495
↖ ↑ ↗
← N 57.974614°
W  9.887695°		 ← 161.97 m → N 57.974614°
W  9.884949°		 →
↑
161.95 m
↓
↑
161.95 m
↓
N 57.973158°
W  9.887695°		 ← 161.97 m →
26 231 m²		 N 57.973158°
W  9.884949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472537994384766 y=0.301326751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472537994384766 × 217)
    floor (0.472537994384766 × 131072)
    floor (61936.5)     		tx = 61936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301326751708984 × 217)
    floor (0.301326751708984 × 131072)
    floor (39495.5)     		ty = 39495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61936 / 39495 ti = "17/61936/39495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61936/39495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61936 ÷ 217
    61936 ÷ 131072     		x = 0.4725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39495 ÷ 217
    39495 ÷ 131072     		y = 0.301322937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17257284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301322937011719 × 2 - 1) × π
    0.397354125976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.24832480300588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17257284} λ = -0.17257284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24832480300588))-π/2
    2×atan(3.48450084014596)-π/2
    2×1.29132211164309-π/2
    2.58264422328618-1.57079632675     		φ = 1.01184790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17257284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01184790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.974614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61936 KachelY 39495 -0.17257284 1.01184790 -9.887695 57.974614
    Oben rechts KachelX + 1 61937 KachelY 39495 -0.17252490 1.01184790 -9.884949 57.974614
    Unten links KachelX 61936 KachelY + 1 39496 -0.17257284 1.01182248 -9.887695 57.973158
    Unten rechts KachelX + 1 61937 KachelY + 1 39496 -0.17252490 1.01182248 -9.884949 57.973158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01184790-1.01182248) × R
    2.54200000000537e-05 × 6371000     		dl = 161.950820000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01184790-1.01182248) × R
    2.54200000000537e-05 × 6371000     		dr = 161.950820000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17257284--0.17252490) × cos(1.01184790) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530294953617988 × 6371000     		do = 161.965728627027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17257284--0.17252490) × cos(1.01182248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530316504858798 × 6371000     		du = 161.9723109307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01184790)-sin(1.01182248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530294953617988-0.530316504858798)×R²
    abs(-0.17252490--0.17257284)×2.15512408104912e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15512408104912e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15512408104912e-05×40589641000000     		ar = 26231.0155691702m²