Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61935 / 39505
↖ ↑ ↗
← N 57.960046°
W  9.890442°		 ← 162.03 m → N 57.960046°
W  9.887695°		 →
↑
162.01 m
↓
↑
162.01 m
↓
N 57.958589°
W  9.890442°		 ← 162.04 m →
26 252 m²		 N 57.958589°
W  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472530364990234 y=0.301403045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472530364990234 × 217)
    floor (0.472530364990234 × 131072)
    floor (61935.5)     		tx = 61935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301403045654297 × 217)
    floor (0.301403045654297 × 131072)
    floor (39505.5)     		ty = 39505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61935 / 39505 ti = "17/61935/39505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61935/39505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61935 ÷ 217
    61935 ÷ 131072     		x = 0.472526550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39505 ÷ 217
    39505 ÷ 131072     		y = 0.301399230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472526550292969 × 2 - 1) × π
    -0.0549468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17262078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301399230957031 × 2 - 1) × π
    0.397201538085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.24784543400968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17262078} λ = -0.17262078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24784543400968))-π/2
    2×atan(3.4828308787718)-π/2
    2×1.29119498233204-π/2
    2.58238996466408-1.57079632675     		φ = 1.01159364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17262078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.890442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01159364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.960046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61935 KachelY 39505 -0.17262078 1.01159364 -9.890442 57.960046
    Oben rechts KachelX + 1 61936 KachelY 39505 -0.17257284 1.01159364 -9.887695 57.960046
    Unten links KachelX 61935 KachelY + 1 39506 -0.17262078 1.01156821 -9.890442 57.958589
    Unten rechts KachelX + 1 61936 KachelY + 1 39506 -0.17257284 1.01156821 -9.887695 57.958589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01159364-1.01156821) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dl = 162.014529999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01159364-1.01156821) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dr = 162.014529999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17262078--0.17257284) × cos(1.01159364) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530510501464613 × 6371000     		do = 162.031562487588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17262078--0.17257284) × cos(1.01156821) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530532057753856 × 6371000     		du = 162.038146333182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01159364)-sin(1.01156821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530510501464613-0.530532057753856)×R²
    abs(-0.17257284--0.17262078)×2.15562892432741e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15562892432741e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15562892432741e-05×40589641000000     		ar = 26252.0007822194m²