Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61931 / 76187
↖ ↑ ↗
← S 28.059862°
W  9.901428°		 ← 269.47 m → S 28.059862°
W  9.898682°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
S 28.062286°
W  9.901428°		 ← 269.46 m →
72 636 m²		 S 28.062286°
W  9.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472499847412109 y=0.581264495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472499847412109 × 217)
    floor (0.472499847412109 × 131072)
    floor (61931.5)     		tx = 61931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581264495849609 × 217)
    floor (0.581264495849609 × 131072)
    floor (76187.5)     		ty = 76187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61931 / 76187 ti = "17/61931/76187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61931/76187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61931 ÷ 217
    61931 ÷ 131072     		x = 0.472496032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76187 ÷ 217
    76187 ÷ 131072     		y = 0.581260681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472496032714844 × 2 - 1) × π
    -0.0550079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17281252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581260681152344 × 2 - 1) × π
    -0.162521362304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.510575917853218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17281252} λ = -0.17281252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510575917853218))-π/2
    2×atan(0.600149842255133)-π/2
    2×0.540529671115862-π/2
    1.08105934223172-1.57079632675     		φ = -0.48973698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17281252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.901428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48973698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.059862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61931 KachelY 76187 -0.17281252 -0.48973698 -9.901428 -28.059862
    Oben rechts KachelX + 1 61932 KachelY 76187 -0.17276459 -0.48973698 -9.898682 -28.059862
    Unten links KachelX 61931 KachelY + 1 76188 -0.17281252 -0.48977929 -9.901428 -28.062286
    Unten rechts KachelX + 1 61932 KachelY + 1 76188 -0.17276459 -0.48977929 -9.898682 -28.062286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48973698--0.48977929) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48973698--0.48977929) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17281252--0.17276459) × cos(-0.48973698) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.882456612110119 × 6371000     		do = 269.468742460877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17281252--0.17276459) × cos(-0.48977929) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.882436708958559 × 6371000     		du = 269.462664794113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48973698)-sin(-0.48977929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882456612110119-0.882436708958559)×R²
    abs(-0.17276459--0.17281252)×1.99031515607517e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.99031515607517e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.99031515607517e-05×40589641000000     		ar = 72636.3693781225m²