Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61930 / 76185
↖ ↑ ↗
← S 28.055015°
W  9.904175°		 ← 269.54 m → S 28.055015°
W  9.901428°		 →
↑
269.49 m
↓
↑
269.49 m
↓
S 28.057438°
W  9.904175°		 ← 269.53 m →
72 638 m²		 S 28.057438°
W  9.901428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472492218017578 y=0.581249237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472492218017578 × 217)
    floor (0.472492218017578 × 131072)
    floor (61930.5)     		tx = 61930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581249237060547 × 217)
    floor (0.581249237060547 × 131072)
    floor (76185.5)     		ty = 76185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61930 / 76185 ti = "17/61930/76185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61930/76185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61930 ÷ 217
    61930 ÷ 131072     		x = 0.472488403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76185 ÷ 217
    76185 ÷ 131072     		y = 0.581245422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472488403320312 × 2 - 1) × π
    -0.055023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17286046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581245422363281 × 2 - 1) × π
    -0.162490844726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.510480044053978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17286046} λ = -0.17286046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510480044053978))-π/2
    2×atan(0.600207383658936)-π/2
    2×0.54057197430364-π/2
    1.08114394860728-1.57079632675     		φ = -0.48965238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17286046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.904175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48965238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.055015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61930 KachelY 76185 -0.17286046 -0.48965238 -9.904175 -28.055015
    Oben rechts KachelX + 1 61931 KachelY 76185 -0.17281252 -0.48965238 -9.901428 -28.055015
    Unten links KachelX 61930 KachelY + 1 76186 -0.17286046 -0.48969468 -9.904175 -28.057438
    Unten rechts KachelX + 1 61931 KachelY + 1 76186 -0.17281252 -0.48969468 -9.901428 -28.057438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48965238--0.48969468) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dl = 269.493299999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48965238--0.48969468) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dr = 269.493299999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17286046--0.17281252) × cos(-0.48965238) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88249640426767 × 6371000     		do = 269.537117320772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17286046--0.17281252) × cos(-0.48969468) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882476508978398 × 6371000     		du = 269.531040787323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48965238)-sin(-0.48969468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88249640426767-0.882476508978398)×R²
    abs(-0.17281252--0.17286046)×1.98952892721538e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98952892721538e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98952892721538e-05×40589641000000     		ar = 72637.6284374919m²