Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61930 / 28154
↖ ↑ ↗
← N 71.079401°
W  9.904175°		 ← 99.04 m → N 71.079401°
W  9.901428°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
N 71.078510°
W  9.904175°		 ← 99.04 m →
9 805 m²		 N 71.078510°
W  9.901428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472492218017578 y=0.214801788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472492218017578 × 217)
    floor (0.472492218017578 × 131072)
    floor (61930.5)     		tx = 61930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214801788330078 × 217)
    floor (0.214801788330078 × 131072)
    floor (28154.5)     		ty = 28154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61930 / 28154 ti = "17/61930/28154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61930/28154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61930 ÷ 217
    61930 ÷ 131072     		x = 0.472488403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28154 ÷ 217
    28154 ÷ 131072     		y = 0.214797973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472488403320312 × 2 - 1) × π
    -0.055023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17286046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214797973632812 × 2 - 1) × π
    0.570404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79197718159694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17286046} λ = -0.17286046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79197718159694))-π/2
    2×atan(6.00130641641965)-π/2
    2×1.40568295045356-π/2
    2.81136590090712-1.57079632675     		φ = 1.24056957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17286046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.904175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24056957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.079401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61930 KachelY 28154 -0.17286046 1.24056957 -9.904175 71.079401
    Oben rechts KachelX + 1 61931 KachelY 28154 -0.17281252 1.24056957 -9.901428 71.079401
    Unten links KachelX 61930 KachelY + 1 28155 -0.17286046 1.24055403 -9.904175 71.078510
    Unten rechts KachelX + 1 61931 KachelY + 1 28155 -0.17281252 1.24055403 -9.901428 71.078510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24056957-1.24055403) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24056957-1.24055403) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17286046--0.17281252) × cos(1.24056957) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324257541591759 × 6371000     		do = 99.036599591236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17286046--0.17281252) × cos(1.24055403) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324272241908383 × 6371000     		du = 99.0410894463191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24056957)-sin(1.24055403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324257541591759-0.324272241908383)×R²
    abs(-0.17281252--0.17286046)×1.47003166240389e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47003166240389e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47003166240389e-05×40589641000000     		ar = 9805.37447501427m²