Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61930 / 12776
↖ ↑ ↗
← N 73.264704°
E160.191650°		 ← 175.89 m → N 73.264704°
E160.197144°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
N 73.263122°
E160.191650°		 ← 175.91 m →
30 942 m²		 N 73.263122°
E160.197144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944984436035156 y=0.194953918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944984436035156 × 216)
    floor (0.944984436035156 × 65536)
    floor (61930.5)     		tx = 61930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194953918457031 × 216)
    floor (0.194953918457031 × 65536)
    floor (12776.5)     		ty = 12776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61930 / 12776 ti = "16/61930/12776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61930/12776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61930 ÷ 216
    61930 ÷ 65536     		x = 0.944976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12776 ÷ 216
    12776 ÷ 65536     		y = 0.1949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944976806640625 × 2 - 1) × π
    0.88995361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79587173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1949462890625 × 2 - 1) × π
    0.610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91670899440833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79587173} λ = 2.79587173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91670899440833))-π/2
    2×atan(6.79854755427823)-π/2
    2×1.42475331655499-π/2
    2.84950663310997-1.57079632675     		φ = 1.27871031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79587173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27871031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.264704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61930 KachelY 12776 2.79587173 1.27871031 160.191650 73.264704
    Oben rechts KachelX + 1 61931 KachelY 12776 2.79596761 1.27871031 160.197144 73.264704
    Unten links KachelX 61930 KachelY + 1 12777 2.79587173 1.27868270 160.191650 73.263122
    Unten rechts KachelX + 1 61931 KachelY + 1 12777 2.79596761 1.27868270 160.197144 73.263122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27871031-1.27868270) × R
    2.76099999998447e-05 × 6371000     		dl = 175.903309999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27871031-1.27868270) × R
    2.76099999998447e-05 × 6371000     		dr = 175.903309999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79587173-2.79596761) × cos(1.27871031) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.287950514317585 × 6371000     		do = 175.894997837543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79587173-2.79596761) × cos(1.27868270) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.287976954794282 × 6371000     		du = 175.911149041865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27871031)-sin(1.27868270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287950514317585-0.287976954794282)×R²
    abs(2.79596761-2.79587173)×2.64404766970872e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.64404766970872e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.64404766970872e-05×40589641000000     		ar = 30941.9328592871m²