Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61930 / 12771
↖ ↑ ↗
← N 73.272611°
E160.191650°		 ← 175.81 m → N 73.272611°
E160.197144°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
N 73.271029°
E160.191650°		 ← 175.83 m →
30 917 m²		 N 73.271029°
E160.197144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944984436035156 y=0.194877624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944984436035156 × 216)
    floor (0.944984436035156 × 65536)
    floor (61930.5)     		tx = 61930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194877624511719 × 216)
    floor (0.194877624511719 × 65536)
    floor (12771.5)     		ty = 12771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61930 / 12771 ti = "16/61930/12771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61930/12771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61930 ÷ 216
    61930 ÷ 65536     		x = 0.944976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12771 ÷ 216
    12771 ÷ 65536     		y = 0.194869995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944976806640625 × 2 - 1) × π
    0.88995361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79587173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194869995117188 × 2 - 1) × π
    0.610260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91718836340453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79587173} λ = 2.79587173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91718836340453))-π/2
    2×atan(6.80180734845465)-π/2
    2×1.42482231799082-π/2
    2.84964463598163-1.57079632675     		φ = 1.27884831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79587173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27884831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.272611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61930 KachelY 12771 2.79587173 1.27884831 160.191650 73.272611
    Oben rechts KachelX + 1 61931 KachelY 12771 2.79596761 1.27884831 160.197144 73.272611
    Unten links KachelX 61930 KachelY + 1 12772 2.79587173 1.27882071 160.191650 73.271029
    Unten rechts KachelX + 1 61931 KachelY + 1 12772 2.79596761 1.27882071 160.197144 73.271029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27884831-1.27882071) × R
    2.76000000001275e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27884831-1.27882071) × R
    2.76000000001275e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79587173-2.79596761) × cos(1.27884831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.287818356526131 × 6371000     		do = 175.814269055039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79587173-2.79596761) × cos(1.27882071) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.287844788522999 × 6371000     		du = 175.830415079446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27884831)-sin(1.27882071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287818356526131-0.287844788522999)×R²
    abs(2.79596761-2.79587173)×2.64319968685256e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.64319968685256e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.64319968685256e-05×40589641000000     		ar = 30916.5303020062m²