Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61928 / 12840
↖ ↑ ↗
← N 73.163173°
E160.180664°		 ← 176.91 m → N 73.163173°
E160.186157°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 73.161582°
E160.180664°		 ← 176.93 m →
31 301 m²		 N 73.161582°
E160.186157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944953918457031 y=0.195930480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944953918457031 × 216)
    floor (0.944953918457031 × 65536)
    floor (61928.5)     		tx = 61928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195930480957031 × 216)
    floor (0.195930480957031 × 65536)
    floor (12840.5)     		ty = 12840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61928 / 12840 ti = "16/61928/12840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61928/12840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61928 ÷ 216
    61928 ÷ 65536     		x = 0.9449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12840 ÷ 216
    12840 ÷ 65536     		y = 0.1959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9449462890625 × 2 - 1) × π
    0.889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79567999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1959228515625 × 2 - 1) × π
    0.608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91057307125696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79567999} λ = 2.79567999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91057307125696))-π/2
    2×atan(6.75695990872246)-π/2
    2×1.42386729529431-π/2
    2.84773459058862-1.57079632675     		φ = 1.27693826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79567999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27693826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.163173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61928 KachelY 12840 2.79567999 1.27693826 160.180664 73.163173
    Oben rechts KachelX + 1 61929 KachelY 12840 2.79577586 1.27693826 160.186157 73.163173
    Unten links KachelX 61928 KachelY + 1 12841 2.79567999 1.27691049 160.180664 73.161582
    Unten rechts KachelX + 1 61929 KachelY + 1 12841 2.79577586 1.27691049 160.186157 73.161582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27693826-1.27691049) × R
    2.77700000002046e-05 × 6371000     		dl = 176.922670001303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27693826-1.27691049) × R
    2.77700000002046e-05 × 6371000     		dr = 176.922670001303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79567999-2.79577586) × cos(1.27693826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.289647056660048 × 6371000     		do = 176.912879824451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79567999-2.79577586) × cos(1.27691049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.28967363614632 × 6371000     		du = 176.929114249598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27693826)-sin(1.27691049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289647056660048-0.28967363614632)×R²
    abs(2.79577586-2.79567999)×2.65794862714386e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65794862714386e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65794862714386e-05×40589641000000     		ar = 31301.3351769762m²