Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61927 / 39331
↖ ↑ ↗
← N 58.212685°
W  9.912415°		 ← 160.89 m → N 58.212685°
W  9.909668°		 →
↑
160.93 m
↓
↑
160.93 m
↓
N 58.211238°
W  9.912415°		 ← 160.89 m →
25 893 m²		 N 58.211238°
W  9.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472469329833984 y=0.300075531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472469329833984 × 217)
    floor (0.472469329833984 × 131072)
    floor (61927.5)     		tx = 61927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300075531005859 × 217)
    floor (0.300075531005859 × 131072)
    floor (39331.5)     		ty = 39331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61927 / 39331 ti = "17/61927/39331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61927/39331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61927 ÷ 217
    61927 ÷ 131072     		x = 0.472465515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39331 ÷ 217
    39331 ÷ 131072     		y = 0.300071716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472465515136719 × 2 - 1) × π
    -0.0550689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17300427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300071716308594 × 2 - 1) × π
    0.399856567382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25618645454357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17300427} λ = -0.17300427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25618645454357))-π/2
    2×atan(3.51200273504377)-π/2
    2×1.29339967133607-π/2
    2.58679934267214-1.57079632675     		φ = 1.01600302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17300427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.912415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01600302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.212685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61927 KachelY 39331 -0.17300427 1.01600302 -9.912415 58.212685
    Oben rechts KachelX + 1 61928 KachelY 39331 -0.17295633 1.01600302 -9.909668 58.212685
    Unten links KachelX 61927 KachelY + 1 39332 -0.17300427 1.01597776 -9.912415 58.211238
    Unten rechts KachelX + 1 61928 KachelY + 1 39332 -0.17295633 1.01597776 -9.909668 58.211238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01600302-1.01597776) × R
    2.52600000001379e-05 × 6371000     		dl = 160.931460000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01600302-1.01597776) × R
    2.52600000001379e-05 × 6371000     		dr = 160.931460000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17300427--0.17295633) × cos(1.01600302) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526767620302477 × 6371000     		do = 160.888390238911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17300427--0.17295633) × cos(1.01597776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526789091370289 × 6371000     		du = 160.894948055686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01600302)-sin(1.01597776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526767620302477-0.526789091370289)×R²
    abs(-0.17295633--0.17300427)×2.14710678118069e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14710678118069e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14710678118069e-05×40589641000000     		ar = 25892.5312193869m²