Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61926 / 39319
↖ ↑ ↗
← N 58.230042°
W  9.915161°		 ← 160.81 m → N 58.230042°
W  9.912415°		 →
↑
160.80 m
↓
↑
160.80 m
↓
N 58.228596°
W  9.915161°		 ← 160.82 m →
25 859 m²		 N 58.228596°
W  9.912415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472461700439453 y=0.299983978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472461700439453 × 217)
    floor (0.472461700439453 × 131072)
    floor (61926.5)     		tx = 61926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299983978271484 × 217)
    floor (0.299983978271484 × 131072)
    floor (39319.5)     		ty = 39319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61926 / 39319 ti = "17/61926/39319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61926/39319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61926 ÷ 217
    61926 ÷ 131072     		x = 0.472457885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39319 ÷ 217
    39319 ÷ 131072     		y = 0.299980163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472457885742188 × 2 - 1) × π
    -0.055084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17305221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299980163574219 × 2 - 1) × π
    0.400039672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.25676169733901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17305221} λ = -0.17305221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25676169733901))-π/2
    2×atan(3.51402357049446)-π/2
    2×1.29355114393881-π/2
    2.58710228787763-1.57079632675     		φ = 1.01630596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17305221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.915161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01630596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.230042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61926 KachelY 39319 -0.17305221 1.01630596 -9.915161 58.230042
    Oben rechts KachelX + 1 61927 KachelY 39319 -0.17300427 1.01630596 -9.912415 58.230042
    Unten links KachelX 61926 KachelY + 1 39320 -0.17305221 1.01628072 -9.915161 58.228596
    Unten rechts KachelX + 1 61927 KachelY + 1 39320 -0.17300427 1.01628072 -9.912415 58.228596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01630596-1.01628072) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dl = 160.804040000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01630596-1.01628072) × R
    2.52400000000375e-05 × 6371000     		dr = 160.804040000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17305221--0.17300427) × cos(1.01630596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52651009430622 × 6371000     		do = 160.809735171028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17305221--0.17300427) × cos(1.01628072) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.526531552400982 × 6371000     		du = 160.816289025499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01630596)-sin(1.01628072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52651009430622-0.526531552400982)×R²
    abs(-0.17300427--0.17305221)×2.14580947620613e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14580947620613e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14580947620613e-05×40589641000000     		ar = 25859.3820312322m²