Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61924 / 35236
↖ ↑ ↗
← N 63.660886°
W  9.920654°		 ← 135.51 m → N 63.660886°
W  9.917907°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
N 63.659668°
W  9.920654°		 ← 135.52 m →
18 364 m²		 N 63.659668°
W  9.917907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472446441650391 y=0.268833160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472446441650391 × 217)
    floor (0.472446441650391 × 131072)
    floor (61924.5)     		tx = 61924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268833160400391 × 217)
    floor (0.268833160400391 × 131072)
    floor (35236.5)     		ty = 35236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61924 / 35236 ti = "17/61924/35236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61924/35236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61924 ÷ 217
    61924 ÷ 131072     		x = 0.472442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35236 ÷ 217
    35236 ÷ 131072     		y = 0.268829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.05511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17314808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268829345703125 × 2 - 1) × π
    0.46234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4524880584877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17314808} λ = -0.17314808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4524880584877))-π/2
    2×atan(4.2737345996394)-π/2
    2×1.34094419879989-π/2
    2.68188839759978-1.57079632675     		φ = 1.11109207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17314808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.920654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11109207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.660886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61924 KachelY 35236 -0.17314808 1.11109207 -9.920654 63.660886
    Oben rechts KachelX + 1 61925 KachelY 35236 -0.17310014 1.11109207 -9.917907 63.660886
    Unten links KachelX 61924 KachelY + 1 35237 -0.17314808 1.11107080 -9.920654 63.659668
    Unten rechts KachelX + 1 61925 KachelY + 1 35237 -0.17310014 1.11107080 -9.917907 63.659668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11109207-1.11107080) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11109207-1.11107080) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17314808--0.17310014) × cos(1.11109207) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443683086117076 × 6371000     		do = 135.512234902781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17314808--0.17310014) × cos(1.11107080) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443702147845136 × 6371000     		du = 135.51805684518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11109207)-sin(1.11107080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443683086117076-0.443702147845136)×R²
    abs(-0.17310014--0.17314808)×1.90617280602656e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90617280602656e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90617280602656e-05×40589641000000     		ar = 18363.81597063m²