Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61923 / 39701
↖ ↑ ↗
← N 57.673317°
W  9.923401°		 ← 163.33 m → N 57.673317°
W  9.920654°		 →
↑
163.29 m
↓
↑
163.29 m
↓
N 57.671848°
W  9.923401°		 ← 163.33 m →
26 670 m²		 N 57.671848°
W  9.920654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472438812255859 y=0.302898406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472438812255859 × 217)
    floor (0.472438812255859 × 131072)
    floor (61923.5)     		tx = 61923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302898406982422 × 217)
    floor (0.302898406982422 × 131072)
    floor (39701.5)     		ty = 39701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61923 / 39701 ti = "17/61923/39701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61923/39701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61923 ÷ 217
    61923 ÷ 131072     		x = 0.472434997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39701 ÷ 217
    39701 ÷ 131072     		y = 0.302894592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472434997558594 × 2 - 1) × π
    -0.0551300048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17319602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302894592285156 × 2 - 1) × π
    0.394210815429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.23844980168415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17319602} λ = -0.17319602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23844980168415))-π/2
    2×atan(3.45026072856263)-π/2
    2×1.28869280084376-π/2
    2.57738560168752-1.57079632675     		φ = 1.00658927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17319602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.923401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00658927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.673317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61923 KachelY 39701 -0.17319602 1.00658927 -9.923401 57.673317
    Oben rechts KachelX + 1 61924 KachelY 39701 -0.17314808 1.00658927 -9.920654 57.673317
    Unten links KachelX 61923 KachelY + 1 39702 -0.17319602 1.00656364 -9.923401 57.671848
    Unten rechts KachelX + 1 61924 KachelY + 1 39702 -0.17314808 1.00656364 -9.920654 57.671848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00658927-1.00656364) × R
    2.56300000001097e-05 × 6371000     		dl = 163.288730000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00658927-1.00656364) × R
    2.56300000001097e-05 × 6371000     		dr = 163.288730000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17319602--0.17314808) × cos(1.00658927) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534745936965823 × 6371000     		do = 163.325173509767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17319602--0.17314808) × cos(1.00656364) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534767594470534 × 6371000     		du = 163.33178826917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00658927)-sin(1.00656364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534745936965823-0.534767594470534)×R²
    abs(-0.17314808--0.17319602)×2.1657504711281e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1657504711281e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1657504711281e-05×40589641000000     		ar = 26669.7002189237m²