Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61923 / 35232
↖ ↑ ↗
← N 63.665760°
W  9.923401°		 ← 135.49 m → N 63.665760°
W  9.920654°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
N 63.664542°
W  9.923401°		 ← 135.49 m →
18 361 m²		 N 63.664542°
W  9.920654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472438812255859 y=0.268802642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472438812255859 × 217)
    floor (0.472438812255859 × 131072)
    floor (61923.5)     		tx = 61923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268802642822266 × 217)
    floor (0.268802642822266 × 131072)
    floor (35232.5)     		ty = 35232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61923 / 35232 ti = "17/61923/35232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61923/35232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61923 ÷ 217
    61923 ÷ 131072     		x = 0.472434997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35232 ÷ 217
    35232 ÷ 131072     		y = 0.268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472434997558594 × 2 - 1) × π
    -0.0551300048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17319602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268798828125 × 2 - 1) × π
    0.46240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45267980608618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17319602} λ = -0.17319602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45267980608618))-π/2
    2×atan(4.27455415655695)-π/2
    2×1.34098673272825-π/2
    2.6819734654565-1.57079632675     		φ = 1.11117714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17319602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.923401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11117714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.665760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61923 KachelY 35232 -0.17319602 1.11117714 -9.923401 63.665760
    Oben rechts KachelX + 1 61924 KachelY 35232 -0.17314808 1.11117714 -9.920654 63.665760
    Unten links KachelX 61923 KachelY + 1 35233 -0.17319602 1.11115587 -9.923401 63.664542
    Unten rechts KachelX + 1 61924 KachelY + 1 35233 -0.17314808 1.11115587 -9.920654 63.664542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11117714-1.11115587) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11117714-1.11115587) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17319602--0.17314808) × cos(1.11117714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443606846159856 × 6371000     		do = 135.48894925743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17319602--0.17314808) × cos(1.11115587) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443625908690682 × 6371000     		du = 135.494771445014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11117714)-sin(1.11115587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443606846159856-0.443625908690682)×R²
    abs(-0.17314808--0.17319602)×1.90625308260084e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90625308260084e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90625308260084e-05×40589641000000     		ar = 18360.6605223257m²