Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61922 / 76818
↖ ↑ ↗
← S 29.578235°
W  9.926148°		 ← 265.62 m → S 29.578235°
W  9.923401°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
S 29.580623°
W  9.926148°		 ← 265.62 m →
70 551 m²		 S 29.580623°
W  9.923401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472431182861328 y=0.586078643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472431182861328 × 217)
    floor (0.472431182861328 × 131072)
    floor (61922.5)     		tx = 61922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586078643798828 × 217)
    floor (0.586078643798828 × 131072)
    floor (76818.5)     		ty = 76818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61922 / 76818 ti = "17/61922/76818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61922/76818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61922 ÷ 217
    61922 ÷ 131072     		x = 0.472427368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76818 ÷ 217
    76818 ÷ 131072     		y = 0.586074829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472427368164062 × 2 - 1) × π
    -0.055145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17324396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586074829101562 × 2 - 1) × π
    -0.172149658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540824101513473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17324396} λ = -0.17324396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540824101513473))-π/2
    2×atan(0.582268206487673)-π/2
    2×0.52727937397409-π/2
    1.05455874794818-1.57079632675     		φ = -0.51623758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17324396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.926148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51623758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.578235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61922 KachelY 76818 -0.17324396 -0.51623758 -9.926148 -29.578235
    Oben rechts KachelX + 1 61923 KachelY 76818 -0.17319602 -0.51623758 -9.923401 -29.578235
    Unten links KachelX 61922 KachelY + 1 76819 -0.17324396 -0.51627927 -9.926148 -29.580623
    Unten rechts KachelX + 1 61923 KachelY + 1 76819 -0.17319602 -0.51627927 -9.923401 -29.580623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51623758--0.51627927) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51623758--0.51627927) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17324396--0.17319602) × cos(-0.51623758) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86968250470326 × 6371000     		do = 265.623422564026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17324396--0.17319602) × cos(-0.51627927) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869661925282867 × 6371000     		du = 265.617137079324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51623758)-sin(-0.51627927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86968250470326-0.869661925282867)×R²
    abs(-0.17319602--0.17324396)×2.05794203933518e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05794203933518e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05794203933518e-05×40589641000000     		ar = 70550.6030165694m²