Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61921 / 39325
↖ ↑ ↗
← N 58.221365°
W  9.928894°		 ← 160.82 m → N 58.221365°
W  9.926148°		 →
↑
160.87 m
↓
↑
160.87 m
↓
N 58.219918°
W  9.928894°		 ← 160.82 m →
25 871 m²		 N 58.219918°
W  9.926148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472423553466797 y=0.300029754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472423553466797 × 217)
    floor (0.472423553466797 × 131072)
    floor (61921.5)     		tx = 61921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300029754638672 × 217)
    floor (0.300029754638672 × 131072)
    floor (39325.5)     		ty = 39325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61921 / 39325 ti = "17/61921/39325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61921/39325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61921 ÷ 217
    61921 ÷ 131072     		x = 0.472419738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39325 ÷ 217
    39325 ÷ 131072     		y = 0.300025939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472419738769531 × 2 - 1) × π
    -0.0551605224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17329189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300025939941406 × 2 - 1) × π
    0.399948120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.25647407594129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17329189} λ = -0.17329189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25647407594129))-π/2
    2×atan(3.51301300746024)-π/2
    2×1.29347541689635-π/2
    2.5869508337927-1.57079632675     		φ = 1.01615451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17329189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.928894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01615451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.221365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61921 KachelY 39325 -0.17329189 1.01615451 -9.928894 58.221365
    Oben rechts KachelX + 1 61922 KachelY 39325 -0.17324396 1.01615451 -9.926148 58.221365
    Unten links KachelX 61921 KachelY + 1 39326 -0.17329189 1.01612926 -9.928894 58.219918
    Unten rechts KachelX + 1 61922 KachelY + 1 39326 -0.17324396 1.01612926 -9.926148 58.219918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01615451-1.01612926) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dl = 160.867749999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01615451-1.01612926) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dr = 160.867749999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17329189--0.17324396) × cos(1.01615451) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526638846343946 × 6371000     		do = 160.815507196451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17329189--0.17324396) × cos(1.01612926) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526660310926543 × 6371000     		du = 160.822061664966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01615451)-sin(1.01612926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526638846343946-0.526660310926543)×R²
    abs(-0.17324396--0.17329189)×2.14645825967752e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14645825967752e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14645825967752e-05×40589641000000     		ar = 25870.5560104262m²