Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61920 / 12960
↖ ↑ ↗
← N 72.971189°
E160.136719°		 ← 178.87 m → N 72.971189°
E160.142212°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
N 72.969580°
E160.136719°		 ← 178.89 m →
32 001 m²		 N 72.969580°
E160.142212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944831848144531 y=0.197761535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944831848144531 × 216)
    floor (0.944831848144531 × 65536)
    floor (61920.5)     		tx = 61920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197761535644531 × 216)
    floor (0.197761535644531 × 65536)
    floor (12960.5)     		ty = 12960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61920 / 12960 ti = "16/61920/12960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61920/12960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61920 ÷ 216
    61920 ÷ 65536     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12960 ÷ 216
    12960 ÷ 65536     		y = 0.19775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19775390625 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89906821534814))-π/2
    2×atan(6.67966752997521)-π/2
    2×1.4221919171614-π/2
    2.8443838343228-1.57079632675     		φ = 1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61920 KachelY 12960 2.79491300 1.27358751 160.136719 72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 61921 KachelY 12960 2.79500887 1.27358751 160.142212 72.971189
    Unten links KachelX 61920 KachelY + 1 12961 2.79491300 1.27355943 160.136719 72.969580
    Unten rechts KachelX + 1 61921 KachelY + 1 12961 2.79500887 1.27355943 160.142212 72.969580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27358751-1.27355943) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dl = 178.897680000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27358751-1.27355943) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dr = 178.897680000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79500887) × cos(1.27358751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 178.870749726681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79500887) × cos(1.27355943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292879388596025 × 6371000     		du = 178.887148639526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27358751)-sin(1.27355943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.292879388596025)×R²
    abs(2.79500887-2.79491300)×2.68487904471204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68487904471204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68487904471204e-05×40589641000000     		ar = 32001.0290117533m²