Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61920 / 12640
↖ ↑ ↗
← N 73.478485°
E160.136719°		 ← 173.69 m → N 73.478485°
E160.142212°		 →
↑
173.67 m
↓
↑
173.67 m
↓
N 73.476923°
E160.136719°		 ← 173.71 m →
30 167 m²		 N 73.476923°
E160.142212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944831848144531 y=0.192878723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944831848144531 × 216)
    floor (0.944831848144531 × 65536)
    floor (61920.5)     		tx = 61920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192878723144531 × 216)
    floor (0.192878723144531 × 65536)
    floor (12640.5)     		ty = 12640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61920 / 12640 ti = "16/61920/12640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61920/12640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61920 ÷ 216
    61920 ÷ 65536     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12640 ÷ 216
    12640 ÷ 65536     		y = 0.19287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19287109375 × 2 - 1) × π
    0.6142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92974783110498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92974783110498))-π/2
    2×atan(6.88777314042709)-π/2
    2×1.42661891039177-π/2
    2.85323782078354-1.57079632675     		φ = 1.28244149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28244149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.478485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61920 KachelY 12640 2.79491300 1.28244149 160.136719 73.478485
    Oben rechts KachelX + 1 61921 KachelY 12640 2.79500887 1.28244149 160.142212 73.478485
    Unten links KachelX 61920 KachelY + 1 12641 2.79491300 1.28241423 160.136719 73.476923
    Unten rechts KachelX + 1 61921 KachelY + 1 12641 2.79500887 1.28241423 160.142212 73.476923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28244149-1.28241423) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dl = 173.673459999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28244149-1.28241423) × R
    2.72599999999734e-05 × 6371000     		dr = 173.673459999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79500887) × cos(1.28244149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284375371276839 × 6371000     		do = 173.692998865099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79500887) × cos(1.28241423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284401505688008 × 6371000     		du = 173.708961443817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28244149)-sin(1.28241423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284375371276839-0.284401505688008)×R²
    abs(2.79500887-2.79491300)×2.61344111686657e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.61344111686657e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.61344111686657e-05×40589641000000     		ar = 30167.250230843m²