Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61918 / 39326
↖ ↑ ↗
← N 58.219918°
W  9.937134°		 ← 160.82 m → N 58.219918°
W  9.934387°		 →
↑
160.87 m
↓
↑
160.87 m
↓
N 58.218471°
W  9.937134°		 ← 160.83 m →
25 872 m²		 N 58.218471°
W  9.934387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472400665283203 y=0.300037384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472400665283203 × 217)
    floor (0.472400665283203 × 131072)
    floor (61918.5)     		tx = 61918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300037384033203 × 217)
    floor (0.300037384033203 × 131072)
    floor (39326.5)     		ty = 39326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61918 / 39326 ti = "17/61918/39326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61918/39326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61918 ÷ 217
    61918 ÷ 131072     		x = 0.472396850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39326 ÷ 217
    39326 ÷ 131072     		y = 0.300033569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472396850585938 × 2 - 1) × π
    -0.055206298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17343570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300033569335938 × 2 - 1) × π
    0.399932861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25642613904167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17343570} λ = -0.17343570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25642613904167))-π/2
    2×atan(3.51284460854463)-π/2
    2×1.29346279392234-π/2
    2.58692558784468-1.57079632675     		φ = 1.01612926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17343570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.937134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01612926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.219918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61918 KachelY 39326 -0.17343570 1.01612926 -9.937134 58.219918
    Oben rechts KachelX + 1 61919 KachelY 39326 -0.17338777 1.01612926 -9.934387 58.219918
    Unten links KachelX 61918 KachelY + 1 39327 -0.17343570 1.01610401 -9.937134 58.218471
    Unten rechts KachelX + 1 61919 KachelY + 1 39327 -0.17338777 1.01610401 -9.934387 58.218471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01612926-1.01610401) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dl = 160.867749999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01612926-1.01610401) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dr = 160.867749999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17343570--0.17338777) × cos(1.01612926) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526660310926543 × 6371000     		do = 160.822061664966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17343570--0.17338777) × cos(1.01610401) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526681775173361 × 6371000     		du = 160.828616030946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01612926)-sin(1.01610401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526660310926543-0.526681775173361)×R²
    abs(-0.17338777--0.17343570)×2.1464246817926e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1464246817926e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1464246817926e-05×40589641000000     		ar = 25871.6104049825m²