Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61917 / 76802
↖ ↑ ↗
← S 29.540009°
W  9.939880°		 ← 265.72 m → S 29.540009°
W  9.937134°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 29.542398°
W  9.939880°		 ← 265.72 m →
70 611 m²		 S 29.542398°
W  9.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472393035888672 y=0.585956573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472393035888672 × 217)
    floor (0.472393035888672 × 131072)
    floor (61917.5)     		tx = 61917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585956573486328 × 217)
    floor (0.585956573486328 × 131072)
    floor (76802.5)     		ty = 76802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61917 / 76802 ti = "17/61917/76802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61917/76802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61917 ÷ 217
    61917 ÷ 131072     		x = 0.472389221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76802 ÷ 217
    76802 ÷ 131072     		y = 0.585952758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472389221191406 × 2 - 1) × π
    -0.0552215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17348364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585952758789062 × 2 - 1) × π
    -0.171905517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540057111119553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17348364} λ = -0.17348364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540057111119553))-π/2
    2×atan(0.58271497191923)-π/2
    2×0.527612956155341-π/2
    1.05522591231068-1.57079632675     		φ = -0.51557041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17348364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.939880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51557041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.540009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61917 KachelY 76802 -0.17348364 -0.51557041 -9.939880 -29.540009
    Oben rechts KachelX + 1 61918 KachelY 76802 -0.17343570 -0.51557041 -9.937134 -29.540009
    Unten links KachelX 61917 KachelY + 1 76803 -0.17348364 -0.51561212 -9.939880 -29.542398
    Unten rechts KachelX + 1 61918 KachelY + 1 76803 -0.17343570 -0.51561212 -9.937134 -29.542398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51557041--0.51561212) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51557041--0.51561212) × R
    4.17099999999726e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17348364--0.17343570) × cos(-0.51557041) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.870011633927552 × 6371000     		do = 265.723947100911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17348364--0.17343570) × cos(-0.51561212) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869991068839727 × 6371000     		du = 265.717665993744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51557041)-sin(-0.51561212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870011633927552-0.869991068839727)×R²
    abs(-0.17343570--0.17348364)×2.05650878255526e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05650878255526e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05650878255526e-05×40589641000000     		ar = 70611.1617628477m²