Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61917 / 39381
↖ ↑ ↗
← N 58.140271°
W  9.939880°		 ← 161.22 m → N 58.140271°
W  9.937134°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.138821°
W  9.939880°		 ← 161.22 m →
25 986 m²		 N 58.138821°
W  9.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472393035888672 y=0.300457000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472393035888672 × 217)
    floor (0.472393035888672 × 131072)
    floor (61917.5)     		tx = 61917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300457000732422 × 217)
    floor (0.300457000732422 × 131072)
    floor (39381.5)     		ty = 39381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61917 / 39381 ti = "17/61917/39381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61917/39381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61917 ÷ 217
    61917 ÷ 131072     		x = 0.472389221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39381 ÷ 217
    39381 ÷ 131072     		y = 0.300453186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472389221191406 × 2 - 1) × π
    -0.0552215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17348364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300453186035156 × 2 - 1) × π
    0.399093627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.25378960956257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17348364} λ = -0.17348364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25378960956257))-π/2
    2×atan(3.50359508885236)-π/2
    2×1.29276773782309-π/2
    2.58553547564618-1.57079632675     		φ = 1.01473915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17348364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.939880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01473915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.140271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61917 KachelY 39381 -0.17348364 1.01473915 -9.939880 58.140271
    Oben rechts KachelX + 1 61918 KachelY 39381 -0.17343570 1.01473915 -9.937134 58.140271
    Unten links KachelX 61917 KachelY + 1 39382 -0.17348364 1.01471385 -9.939880 58.138821
    Unten rechts KachelX + 1 61918 KachelY + 1 39382 -0.17343570 1.01471385 -9.937134 58.138821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01473915-1.01471385) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dl = 161.186300000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01473915-1.01471385) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dr = 161.186300000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17348364--0.17343570) × cos(1.01473915) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527841500597474 × 6371000     		do = 161.216380922682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17348364--0.17343570) × cos(1.01471385) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527862988803737 × 6371000     		du = 161.222943973981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01473915)-sin(1.01471385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527841500597474-0.527862988803737)×R²
    abs(-0.17343570--0.17348364)×2.14882062630206e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14882062630206e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14882062630206e-05×40589641000000     		ar = 25986.4008789069m²