Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61917 / 28266
↖ ↑ ↗
← N 70.979400°
W  9.939880°		 ← 99.54 m → N 70.979400°
W  9.937134°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 70.978505°
W  9.939880°		 ← 99.55 m →
9 906 m²		 N 70.978505°
W  9.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472393035888672 y=0.215656280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472393035888672 × 217)
    floor (0.472393035888672 × 131072)
    floor (61917.5)     		tx = 61917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215656280517578 × 217)
    floor (0.215656280517578 × 131072)
    floor (28266.5)     		ty = 28266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61917 / 28266 ti = "17/61917/28266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61917/28266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61917 ÷ 217
    61917 ÷ 131072     		x = 0.472389221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28266 ÷ 217
    28266 ÷ 131072     		y = 0.215652465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472389221191406 × 2 - 1) × π
    -0.0552215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17348364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215652465820312 × 2 - 1) × π
    0.568695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78660824883949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17348364} λ = -0.17348364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78660824883949))-π/2
    2×atan(5.96917214637095)-π/2
    2×1.40481027823013-π/2
    2.80962055646026-1.57079632675     		φ = 1.23882423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17348364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.939880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23882423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.979400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61917 KachelY 28266 -0.17348364 1.23882423 -9.939880 70.979400
    Oben rechts KachelX + 1 61918 KachelY 28266 -0.17343570 1.23882423 -9.937134 70.979400
    Unten links KachelX 61917 KachelY + 1 28267 -0.17348364 1.23880861 -9.939880 70.978505
    Unten rechts KachelX + 1 61918 KachelY + 1 28267 -0.17343570 1.23880861 -9.937134 70.978505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23882423-1.23880861) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23882423-1.23880861) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17348364--0.17343570) × cos(1.23882423) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.325908084130727 × 6371000     		do = 99.5407177676019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17348364--0.17343570) × cos(1.23880861) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.325922851261775 × 6371000     		du = 99.5452280295298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23882423)-sin(1.23880861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325908084130727-0.325922851261775)×R²
    abs(-0.17343570--0.17348364)×1.47671310474773e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47671310474773e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47671310474773e-05×40589641000000     		ar = 9906.0209390906m²