Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61915 / 76810
↖ ↑ ↗
← S 29.559124°
W  9.945373°		 ← 265.62 m → S 29.559124°
W  9.942627°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
S 29.561513°
W  9.945373°		 ← 265.61 m →
70 566 m²		 S 29.561513°
W  9.942627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472377777099609 y=0.586017608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472377777099609 × 217)
    floor (0.472377777099609 × 131072)
    floor (61915.5)     		tx = 61915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586017608642578 × 217)
    floor (0.586017608642578 × 131072)
    floor (76810.5)     		ty = 76810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61915 / 76810 ti = "17/61915/76810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61915/76810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61915 ÷ 217
    61915 ÷ 131072     		x = 0.472373962402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76810 ÷ 217
    76810 ÷ 131072     		y = 0.586013793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472373962402344 × 2 - 1) × π
    -0.0552520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17357951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586013793945312 × 2 - 1) × π
    -0.172027587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.540440606316513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17357951} λ = -0.17357951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540440606316513))-π/2
    2×atan(0.582491546370353)-π/2
    2×0.527446149287414-π/2
    1.05489229857483-1.57079632675     		φ = -0.51590403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17357951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.945373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51590403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.559124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61915 KachelY 76810 -0.17357951 -0.51590403 -9.945373 -29.559124
    Oben rechts KachelX + 1 61916 KachelY 76810 -0.17353158 -0.51590403 -9.942627 -29.559124
    Unten links KachelX 61915 KachelY + 1 76811 -0.17357951 -0.51594573 -9.945373 -29.561513
    Unten rechts KachelX + 1 61916 KachelY + 1 76811 -0.17353158 -0.51594573 -9.942627 -29.561513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51590403--0.51594573) × R
    4.17000000000334e-05 × 6371000     		dl = 265.670700000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51590403--0.51594573) × R
    4.17000000000334e-05 × 6371000     		dr = 265.670700000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17357951--0.17353158) × cos(-0.51590403) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869847100446995 × 6371000     		do = 265.618276382117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17357951--0.17353158) × cos(-0.51594573) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869826528187569 × 6371000     		du = 265.611994395217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51590403)-sin(-0.51594573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869847100446995-0.869826528187569)×R²
    abs(-0.17353158--0.17357951)×2.05722594252e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05722594252e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05722594252e-05×40589641000000     		ar = 70566.1589596206m²