Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61913 / 76855
↖ ↑ ↗
← S 29.666576°
W  9.950867°		 ← 265.39 m → S 29.666576°
W  9.948120°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
S 29.668962°
W  9.950867°		 ← 265.38 m →
70 421 m²		 S 29.668962°
W  9.948120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472362518310547 y=0.586360931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472362518310547 × 217)
    floor (0.472362518310547 × 131072)
    floor (61913.5)     		tx = 61913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586360931396484 × 217)
    floor (0.586360931396484 × 131072)
    floor (76855.5)     		ty = 76855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61913 / 76855 ti = "17/61913/76855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61913/76855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61913 ÷ 217
    61913 ÷ 131072     		x = 0.472358703613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76855 ÷ 217
    76855 ÷ 131072     		y = 0.586357116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472358703613281 × 2 - 1) × π
    -0.0552825927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17367539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586357116699219 × 2 - 1) × π
    -0.172714233398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.542597766799416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17367539} λ = -0.17367539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542597766799416))-π/2
    2×atan(0.581236372916914)-π/2
    2×0.526508448967341-π/2
    1.05301689793468-1.57079632675     		φ = -0.51777943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17367539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.950867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51777943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.666576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61913 KachelY 76855 -0.17367539 -0.51777943 -9.950867 -29.666576
    Oben rechts KachelX + 1 61914 KachelY 76855 -0.17362745 -0.51777943 -9.948120 -29.666576
    Unten links KachelX 61913 KachelY + 1 76856 -0.17367539 -0.51782108 -9.950867 -29.668962
    Unten rechts KachelX + 1 61914 KachelY + 1 76856 -0.17362745 -0.51782108 -9.948120 -29.668962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51777943--0.51782108) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51777943--0.51782108) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17367539--0.17362745) × cos(-0.51777943) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.868920396321156 × 6371000     		do = 265.390655047616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17367539--0.17362745) × cos(-0.51782108) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.868899780822477 × 6371000     		du = 265.384358543676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51777943)-sin(-0.51782108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868920396321156-0.868899780822477)×R²
    abs(-0.17362745--0.17367539)×2.06154986789331e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06154986789331e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06154986789331e-05×40589641000000     		ar = 70421.1455215169m²