Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61912 / 39400
↖ ↑ ↗
← N 58.112714°
W  9.953613°		 ← 161.31 m → N 58.112714°
W  9.950867°		 →
↑
161.31 m
↓
↑
161.31 m
↓
N 58.111263°
W  9.953613°		 ← 161.31 m →
26 022 m²		 N 58.111263°
W  9.950867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472354888916016 y=0.300601959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472354888916016 × 217)
    floor (0.472354888916016 × 131072)
    floor (61912.5)     		tx = 61912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300601959228516 × 217)
    floor (0.300601959228516 × 131072)
    floor (39400.5)     		ty = 39400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61912 / 39400 ti = "17/61912/39400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61912/39400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61912 ÷ 217
    61912 ÷ 131072     		x = 0.47235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39400 ÷ 217
    39400 ÷ 131072     		y = 0.30059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.0552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17372332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30059814453125 × 2 - 1) × π
    0.3988037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25287880846979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17372332} λ = -0.17372332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25287880846979))-π/2
    2×atan(3.50040546339445)-π/2
    2×1.29252726552355-π/2
    2.5850545310471-1.57079632675     		φ = 1.01425820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17372332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.953613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01425820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.112714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61912 KachelY 39400 -0.17372332 1.01425820 -9.953613 58.112714
    Oben rechts KachelX + 1 61913 KachelY 39400 -0.17367539 1.01425820 -9.950867 58.112714
    Unten links KachelX 61912 KachelY + 1 39401 -0.17372332 1.01423288 -9.953613 58.111263
    Unten rechts KachelX + 1 61913 KachelY + 1 39401 -0.17367539 1.01423288 -9.950867 58.111263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01425820-1.01423288) × R
    2.53199999999953e-05 × 6371000     		dl = 161.31371999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01425820-1.01423288) × R
    2.53199999999953e-05 × 6371000     		dr = 161.31371999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17372332--0.17367539) × cos(1.01425820) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.528249930997942 × 6371000     		do = 161.307471276803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17372332--0.17367539) × cos(1.01423288) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.528271429760307 × 6371000     		du = 161.314036182522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01425820)-sin(1.01423288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528249930997942-0.528271429760307)×R²
    abs(-0.17367539--0.17372332)×2.1498762364458e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1498762364458e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1498762364458e-05×40589641000000     		ar = 26021.6377615151m²