Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61909 / 76605
↖ ↑ ↗
← S 29.068174°
W  9.961853°		 ← 266.90 m → S 29.068174°
W  9.959107°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.070574°
W  9.961853°		 ← 266.89 m →
71 230 m²		 S 29.070574°
W  9.959107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472332000732422 y=0.584453582763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472332000732422 × 217)
    floor (0.472332000732422 × 131072)
    floor (61909.5)     		tx = 61909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584453582763672 × 217)
    floor (0.584453582763672 × 131072)
    floor (76605.5)     		ty = 76605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61909 / 76605 ti = "17/61909/76605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61909/76605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61909 ÷ 217
    61909 ÷ 131072     		x = 0.472328186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76605 ÷ 217
    76605 ÷ 131072     		y = 0.584449768066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472328186035156 × 2 - 1) × π
    -0.0553436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17386713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584449768066406 × 2 - 1) × π
    -0.168899536132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.530613541894402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17386713} λ = -0.17386713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530613541894402))-π/2
    2×atan(0.588243946632911)-π/2
    2×0.53173049545278-π/2
    1.06346099090556-1.57079632675     		φ = -0.50733534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17386713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.961853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50733534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.068174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61909 KachelY 76605 -0.17386713 -0.50733534 -9.961853 -29.068174
    Oben rechts KachelX + 1 61910 KachelY 76605 -0.17381920 -0.50733534 -9.959107 -29.068174
    Unten links KachelX 61909 KachelY + 1 76606 -0.17386713 -0.50737723 -9.961853 -29.070574
    Unten rechts KachelX + 1 61910 KachelY + 1 76606 -0.17381920 -0.50737723 -9.959107 -29.070574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50733534--0.50737723) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50733534--0.50737723) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17386713--0.17381920) × cos(-0.50733534) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874042234067676 × 6371000     		do = 266.89931090065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17386713--0.17381920) × cos(-0.50737723) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874021881046441 × 6371000     		du = 266.893095860769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50733534)-sin(-0.50737723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874042234067676-0.874021881046441)×R²
    abs(-0.17381920--0.17386713)×2.03530212353753e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03530212353753e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03530212353753e-05×40589641000000     		ar = 71229.5763750752m²