Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61905 / 76107
↖ ↑ ↗
← S 27.865789°
W  9.972839°		 ← 269.95 m → S 27.865789°
W  9.970093°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
S 27.868217°
W  9.972839°		 ← 269.95 m →
72 887 m²		 S 27.868217°
W  9.970093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472301483154297 y=0.580654144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472301483154297 × 217)
    floor (0.472301483154297 × 131072)
    floor (61905.5)     		tx = 61905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580654144287109 × 217)
    floor (0.580654144287109 × 131072)
    floor (76107.5)     		ty = 76107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61905 / 76107 ti = "17/61905/76107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61905/76107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61905 ÷ 217
    61905 ÷ 131072     		x = 0.472297668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76107 ÷ 217
    76107 ÷ 131072     		y = 0.580650329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472297668457031 × 2 - 1) × π
    -0.0554046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17405888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580650329589844 × 2 - 1) × π
    -0.161300659179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.506740965883614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17405888} λ = -0.17405888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506740965883614))-π/2
    2×atan(0.602455806880415)-π/2
    2×0.542223284365984-π/2
    1.08444656873197-1.57079632675     		φ = -0.48634976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17405888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.972839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48634976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.865789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61905 KachelY 76107 -0.17405888 -0.48634976 -9.972839 -27.865789
    Oben rechts KachelX + 1 61906 KachelY 76107 -0.17401095 -0.48634976 -9.970093 -27.865789
    Unten links KachelX 61905 KachelY + 1 76108 -0.17405888 -0.48639214 -9.972839 -27.868217
    Unten rechts KachelX + 1 61906 KachelY + 1 76108 -0.17401095 -0.48639214 -9.970093 -27.868217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48634976--0.48639214) × R
    4.2379999999953e-05 × 6371000     		dl = 270.002979999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48634976--0.48639214) × R
    4.2379999999953e-05 × 6371000     		dr = 270.002979999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17405888--0.17401095) × cos(-0.48634976) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.884044874031036 × 6371000     		do = 269.95373734522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17405888--0.17401095) × cos(-0.48639214) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.884025064738971 × 6371000     		du = 269.947688339583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48634976)-sin(-0.48639214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884044874031036-0.884025064738971)×R²
    abs(-0.17401095--0.17405888)×1.98092920644655e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.98092920644655e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.98092920644655e-05×40589641000000     		ar = 72887.4969314115m²