Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61905 / 12465
↖ ↑ ↗
← N 73.749668°
E160.054321°		 ← 170.92 m → N 73.749668°
E160.059814°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
N 73.748131°
E160.054321°		 ← 170.94 m →
29 217 m²		 N 73.748131°
E160.059814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944602966308594 y=0.190208435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944602966308594 × 216)
    floor (0.944602966308594 × 65536)
    floor (61905.5)     		tx = 61905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190208435058594 × 216)
    floor (0.190208435058594 × 65536)
    floor (12465.5)     		ty = 12465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61905 / 12465 ti = "16/61905/12465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61905/12465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61905 ÷ 216
    61905 ÷ 65536     		x = 0.944595336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12465 ÷ 216
    12465 ÷ 65536     		y = 0.190200805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944595336914062 × 2 - 1) × π
    0.889190673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79347489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190200805664062 × 2 - 1) × π
    0.619598388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.946525745972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79347489} λ = 2.79347489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.946525745972))-π/2
    2×atan(7.00431050504749)-π/2
    2×1.42898543029758-π/2
    2.85797086059515-1.57079632675     		φ = 1.28717453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79347489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.054321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28717453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.749668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61905 KachelY 12465 2.79347489 1.28717453 160.054321 73.749668
    Oben rechts KachelX + 1 61906 KachelY 12465 2.79357076 1.28717453 160.059814 73.749668
    Unten links KachelX 61905 KachelY + 1 12466 2.79347489 1.28714770 160.054321 73.748131
    Unten rechts KachelX + 1 61906 KachelY + 1 12466 2.79357076 1.28714770 160.059814 73.748131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28717453-1.28714770) × R
    2.68299999999222e-05 × 6371000     		dl = 170.933929999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28717453-1.28714770) × R
    2.68299999999222e-05 × 6371000     		dr = 170.933929999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79347489-2.79357076) × cos(1.28717453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.279834575927105 × 6371000     		do = 170.919536599409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79347489-2.79357076) × cos(1.28714770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.27986033392048 × 6371000     		du = 170.935269266742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28717453)-sin(1.28714770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279834575927105-0.27986033392048)×R²
    abs(2.79357076-2.79347489)×2.57579933748975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.57579933748975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.57579933748975e-05×40589641000000     		ar = 29217.2927298728m²