Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61904 / 12464
↖ ↑ ↗
← N 73.751205°
E160.048828°		 ← 170.92 m → N 73.751205°
E160.054321°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
N 73.749668°
E160.048828°		 ← 170.94 m →
29 218 m²		 N 73.749668°
E160.054321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944587707519531 y=0.190193176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944587707519531 × 216)
    floor (0.944587707519531 × 65536)
    floor (61904.5)     		tx = 61904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190193176269531 × 216)
    floor (0.190193176269531 × 65536)
    floor (12464.5)     		ty = 12464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61904 / 12464 ti = "16/61904/12464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61904/12464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61904 ÷ 216
    61904 ÷ 65536     		x = 0.944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12464 ÷ 216
    12464 ÷ 65536     		y = 0.190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944580078125 × 2 - 1) × π
    0.88916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79337901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190185546875 × 2 - 1) × π
    0.61962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94662161977124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79337901} λ = 2.79337901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94662161977124))-π/2
    2×atan(7.00498206709876)-π/2
    2×1.42899884408204-π/2
    2.85799768816408-1.57079632675     		φ = 1.28720136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79337901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28720136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.751205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61904 KachelY 12464 2.79337901 1.28720136 160.048828 73.751205
    Oben rechts KachelX + 1 61905 KachelY 12464 2.79347489 1.28720136 160.054321 73.751205
    Unten links KachelX 61904 KachelY + 1 12465 2.79337901 1.28717453 160.048828 73.749668
    Unten rechts KachelX + 1 61905 KachelY + 1 12465 2.79347489 1.28717453 160.054321 73.749668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28720136-1.28717453) × R
    2.68300000001442e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28720136-1.28717453) × R
    2.68300000001442e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79337901-2.79347489) × cos(1.28720136) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.279808817732291 × 6371000     		do = 170.921630428708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79337901-2.79347489) × cos(1.28717453) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.279834575927105 × 6371000     		du = 170.937364860132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28720136)-sin(1.28717453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279808817732291-0.279834575927105)×R²
    abs(2.79347489-2.79337901)×2.57581948137631e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.57581948137631e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.57581948137631e-05×40589641000000     		ar = 29217.6507872501m²