Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61903 / 76614
↖ ↑ ↗
← S 29.089777°
W  9.978333°		 ← 266.90 m → S 29.089777°
W  9.975586°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.092177°
W  9.978333°		 ← 266.89 m →
71 229 m²		 S 29.092177°
W  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472286224365234 y=0.584522247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472286224365234 × 217)
    floor (0.472286224365234 × 131072)
    floor (61903.5)     		tx = 61903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584522247314453 × 217)
    floor (0.584522247314453 × 131072)
    floor (76614.5)     		ty = 76614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61903 / 76614 ti = "17/61903/76614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61903/76614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61903 ÷ 217
    61903 ÷ 131072     		x = 0.472282409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76614 ÷ 217
    76614 ÷ 131072     		y = 0.584518432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472282409667969 × 2 - 1) × π
    -0.0554351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17415476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.169036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531044973990982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17415476} λ = -0.17415476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531044973990982))-π/2
    2×atan(0.58799021405184)-π/2
    2×0.531541970279235-π/2
    1.06308394055847-1.57079632675     		φ = -0.50771239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17415476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.978333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50771239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.089777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61903 KachelY 76614 -0.17415476 -0.50771239 -9.978333 -29.089777
    Oben rechts KachelX + 1 61904 KachelY 76614 -0.17410682 -0.50771239 -9.975586 -29.089777
    Unten links KachelX 61903 KachelY + 1 76615 -0.17415476 -0.50775428 -9.978333 -29.092177
    Unten rechts KachelX + 1 61904 KachelY + 1 76615 -0.17410682 -0.50775428 -9.975586 -29.092177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50771239--0.50775428) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50771239--0.50775428) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17415476--0.17410682) × cos(-0.50771239) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873858982218849 × 6371000     		do = 266.899026299818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17415476--0.17410682) × cos(-0.50775428) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873838615394052 × 6371000     		du = 266.892805747283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50771239)-sin(-0.50775428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873858982218849-0.873838615394052)×R²
    abs(-0.17410682--0.17415476)×2.03668247964472e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03668247964472e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03668247964472e-05×40589641000000     		ar = 71229.4996848896m²