Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61900 / 12452
↖ ↑ ↗
← N 73.769640°
E160.026855°		 ← 170.72 m → N 73.769640°
E160.032348°		 →
↑
170.74 m
↓
↑
170.74 m
↓
N 73.768104°
E160.026855°		 ← 170.73 m →
29 150 m²		 N 73.768104°
E160.032348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944526672363281 y=0.190010070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944526672363281 × 216)
    floor (0.944526672363281 × 65536)
    floor (61900.5)     		tx = 61900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190010070800781 × 216)
    floor (0.190010070800781 × 65536)
    floor (12452.5)     		ty = 12452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61900 / 12452 ti = "16/61900/12452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61900/12452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61900 ÷ 216
    61900 ÷ 65536     		x = 0.94451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12452 ÷ 216
    12452 ÷ 65536     		y = 0.19000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94451904296875 × 2 - 1) × π
    0.8890380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79299552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19000244140625 × 2 - 1) × π
    0.6199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94777210536212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79299552} λ = 2.79299552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94777210536212))-π/2
    2×atan(7.01304583576672)-π/2
    2×1.42915971322623-π/2
    2.85831942645246-1.57079632675     		φ = 1.28752310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79299552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.026855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28752310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.769640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61900 KachelY 12452 2.79299552 1.28752310 160.026855 73.769640
    Oben rechts KachelX + 1 61901 KachelY 12452 2.79309139 1.28752310 160.032348 73.769640
    Unten links KachelX 61900 KachelY + 1 12453 2.79299552 1.28749630 160.026855 73.768104
    Unten rechts KachelX + 1 61901 KachelY + 1 12453 2.79309139 1.28749630 160.032348 73.768104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28752310-1.28749630) × R
    2.68000000001045e-05 × 6371000     		dl = 170.742800000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28752310-1.28749630) × R
    2.68000000001045e-05 × 6371000     		dr = 170.742800000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79299552-2.79309139) × cos(1.28752310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.27949991492113 × 6371000     		do = 170.715129749863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79299552-2.79309139) × cos(1.28749630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.279525646725965 × 6371000     		du = 170.730846421556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28752310)-sin(1.28749630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27949991492113-0.279525646725965)×R²
    abs(2.79309139-2.79299552)×2.57318048342281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.57318048342281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.57318048342281e-05×40589641000000     		ar = 29149.7210122225m²