Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6190 / 6287
↖ ↑ ↗
← S 68.895187°
E 92.021484°		 ← 1 759.53 m → S 68.895187°
E 92.065430°		 →
↑
1 758.91 m
↓
↑
1 758.91 m
↓
S 68.911005°
E 92.021484°		 ← 1 758.27 m →
3 093 737 m²		 S 68.911005°
E 92.065430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75567626953125 y=0.76751708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75567626953125 × 213)
    floor (0.75567626953125 × 8192)
    floor (6190.5)     		tx = 6190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76751708984375 × 213)
    floor (0.76751708984375 × 8192)
    floor (6287.5)     		ty = 6287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6190 / 6287 ti = "13/6190/6287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6190/6287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6190 ÷ 213
    6190 ÷ 8192     		x = 0.755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6287 ÷ 213
    6287 ÷ 8192     		y = 0.7674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60607788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68047595308069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60607788} λ = 1.60607788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68047595308069))-π/2
    2×atan(0.186285291877778)-π/2
    2×0.184174238407356-π/2
    0.368348476814713-1.57079632675     		φ = -1.20244785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60607788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20244785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.895187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6190 KachelY 6287 1.60607788 -1.20244785 92.021484 -68.895187
    Oben rechts KachelX + 1 6191 KachelY 6287 1.60684488 -1.20244785 92.065430 -68.895187
    Unten links KachelX 6190 KachelY + 1 6288 1.60607788 -1.20272393 92.021484 -68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 6191 KachelY + 1 6288 1.60684488 -1.20272393 92.065430 -68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20244785--1.20272393) × R
    0.000276080000000123 × 6371000     		dl = 1758.90568000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20244785--1.20272393) × R
    0.000276080000000123 × 6371000     		dr = 1758.90568000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60607788-1.60684488) × cos(-1.20244785) × R
    0.000766999999999962 × 0.36007517926074 × 6371000     		do = 1759.52788774274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60607788-1.60684488) × cos(-1.20272393) × R
    0.000766999999999962 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 1758.26923193819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20244785)-sin(-1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36007517926074-0.359817604079576)×R²
    abs(1.60684488-1.60607788)×0.000257575181164205×R²
    0.000766999999999962×0.000257575181164205×6371000²
    0.000766999999999962×0.000257575181164205×40589641000000     		ar = 3093736.68709686m²