Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6190 / 6286
↖ ↑ ↗
← S 68.879358°
E 92.021484°		 ← 1 760.79 m → S 68.879358°
E 92.065430°		 →
↑
1 760.12 m
↓
↑
1 760.12 m
↓
S 68.895187°
E 92.021484°		 ← 1 759.53 m →
3 098 082 m²		 S 68.895187°
E 92.065430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75567626953125 y=0.76739501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75567626953125 × 213)
    floor (0.75567626953125 × 8192)
    floor (6190.5)     		tx = 6190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76739501953125 × 213)
    floor (0.76739501953125 × 8192)
    floor (6286.5)     		ty = 6286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6190 / 6286 ti = "13/6190/6286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6190/6286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6190 ÷ 213
    6190 ÷ 8192     		x = 0.755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6286 ÷ 213
    6286 ÷ 8192     		y = 0.767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60607788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.53466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67970896268677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60607788} λ = 1.60607788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67970896268677))-π/2
    2×atan(0.18642822571461)-π/2
    2×0.184312374922827-π/2
    0.368624749845654-1.57079632675     		φ = -1.20217158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60607788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20217158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.879358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6190 KachelY 6286 1.60607788 -1.20217158 92.021484 -68.879358
    Oben rechts KachelX + 1 6191 KachelY 6286 1.60684488 -1.20217158 92.065430 -68.879358
    Unten links KachelX 6190 KachelY + 1 6287 1.60607788 -1.20244785 92.021484 -68.895187
    Unten rechts KachelX + 1 6191 KachelY + 1 6287 1.60684488 -1.20244785 92.065430 -68.895187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20217158--1.20244785) × R
    0.000276270000000078 × 6371000     		dl = 1760.1161700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20217158--1.20244785) × R
    0.000276270000000078 × 6371000     		dr = 1760.1161700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60607788-1.60684488) × cos(-1.20217158) × R
    0.000766999999999962 × 0.360332904233438 × 6371000     		do = 1760.78727551215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60607788-1.60684488) × cos(-1.20244785) × R
    0.000766999999999962 × 0.36007517926074 × 6371000     		du = 1759.52788774274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20217158)-sin(-1.20244785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360332904233438-0.36007517926074)×R²
    abs(1.60684488-1.60607788)×0.000257724972698381×R²
    0.000766999999999962×0.000257724972698381×6371000²
    0.000766999999999962×0.000257724972698381×40589641000000     		ar = 3098081.84087795m²