Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61899 / 76835
↖ ↑ ↗
← S 29.618833°
W  9.989319°		 ← 265.46 m → S 29.618833°
W  9.986572°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
S 29.621221°
W  9.989319°		 ← 265.45 m →
70 491 m²		 S 29.621221°
W  9.986572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472255706787109 y=0.586208343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472255706787109 × 217)
    floor (0.472255706787109 × 131072)
    floor (61899.5)     		tx = 61899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586208343505859 × 217)
    floor (0.586208343505859 × 131072)
    floor (76835.5)     		ty = 76835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61899 / 76835 ti = "17/61899/76835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61899/76835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61899 ÷ 217
    61899 ÷ 131072     		x = 0.472251892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76835 ÷ 217
    76835 ÷ 131072     		y = 0.586204528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472251892089844 × 2 - 1) × π
    -0.0554962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17434650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586204528808594 × 2 - 1) × π
    -0.172409057617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.541639028807014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17434650} λ = -0.17434650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541639028807014))-π/2
    2×atan(0.581793893525584)-π/2
    2×0.526925081261845-π/2
    1.05385016252369-1.57079632675     		φ = -0.51694616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17434650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.989319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51694616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.618833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61899 KachelY 76835 -0.17434650 -0.51694616 -9.989319 -29.618833
    Oben rechts KachelX + 1 61900 KachelY 76835 -0.17429857 -0.51694616 -9.986572 -29.618833
    Unten links KachelX 61899 KachelY + 1 76836 -0.17434650 -0.51698784 -9.989319 -29.621221
    Unten rechts KachelX + 1 61900 KachelY + 1 76836 -0.17429857 -0.51698784 -9.986572 -29.621221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51694616--0.51698784) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dl = 265.543279999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51694616--0.51698784) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dr = 265.543279999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17434650--0.17429857) × cos(-0.51694616) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.869332523148174 × 6371000     		do = 265.461144013404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17434650--0.17429857) × cos(-0.51698784) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.869311922984862 × 6371000     		du = 265.454853505716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51694616)-sin(-0.51698784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869332523148174-0.869311922984862)×R²
    abs(-0.17429857--0.17434650)×2.06001633121788e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.06001633121788e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.06001633121788e-05×40589641000000     		ar = 70490.5877029286m²