Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61899 / 76612
↖ ↑ ↗
← S 29.084976°
W  9.989319°		 ← 266.86 m → S 29.084976°
W  9.986572°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.087377°
W  9.989319°		 ← 266.85 m →
71 235 m²		 S 29.087377°
W  9.986572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472255706787109 y=0.584506988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472255706787109 × 217)
    floor (0.472255706787109 × 131072)
    floor (61899.5)     		tx = 61899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584506988525391 × 217)
    floor (0.584506988525391 × 131072)
    floor (76612.5)     		ty = 76612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61899 / 76612 ti = "17/61899/76612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61899/76612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61899 ÷ 217
    61899 ÷ 131072     		x = 0.472251892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76612 ÷ 217
    76612 ÷ 131072     		y = 0.584503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472251892089844 × 2 - 1) × π
    -0.0554962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17434650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.16900634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.530949100191742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17434650} λ = -0.17434650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530949100191742))-π/2
    2×atan(0.588046589610004)-π/2
    2×0.531583861345889-π/2
    1.06316772269178-1.57079632675     		φ = -0.50762860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17434650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.989319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50762860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.084976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61899 KachelY 76612 -0.17434650 -0.50762860 -9.989319 -29.084976
    Oben rechts KachelX + 1 61900 KachelY 76612 -0.17429857 -0.50762860 -9.986572 -29.084976
    Unten links KachelX 61899 KachelY + 1 76613 -0.17434650 -0.50767050 -9.989319 -29.087377
    Unten rechts KachelX + 1 61900 KachelY + 1 76613 -0.17429857 -0.50767050 -9.986572 -29.087377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50762860--0.50767050) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50762860--0.50767050) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17434650--0.17429857) × cos(-0.50762860) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873899716129198 × 6371000     		do = 266.85579133349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17434650--0.17429857) × cos(-0.50767050) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873879347510222 × 6371000     		du = 266.849571530651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50762860)-sin(-0.50767050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873899716129198-0.873879347510222)×R²
    abs(-0.17429857--0.17434650)×2.0368618976585e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0368618976585e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0368618976585e-05×40589641000000     		ar = 71234.9623701369m²