Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61898 / 40409
↖ ↑ ↗
← N 56.618465°
W  9.992065°		 ← 168.05 m → N 56.618465°
W  9.989319°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
N 56.616954°
W  9.992065°		 ← 168.06 m →
28 244 m²		 N 56.616954°
W  9.989319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472248077392578 y=0.308300018310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472248077392578 × 217)
    floor (0.472248077392578 × 131072)
    floor (61898.5)     		tx = 61898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308300018310547 × 217)
    floor (0.308300018310547 × 131072)
    floor (40409.5)     		ty = 40409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61898 / 40409 ti = "17/61898/40409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61898/40409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61898 ÷ 217
    61898 ÷ 131072     		x = 0.472244262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40409 ÷ 217
    40409 ÷ 131072     		y = 0.308296203613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472244262695312 × 2 - 1) × π
    -0.055511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17439444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308296203613281 × 2 - 1) × π
    0.383407592773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.20451047675315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17439444} λ = -0.17439444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20451047675315))-π/2
    2×atan(3.33512605666315)-π/2
    2×1.27948748234315-π/2
    2.55897496468629-1.57079632675     		φ = 0.98817864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17439444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.992065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98817864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.618465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61898 KachelY 40409 -0.17439444 0.98817864 -9.992065 56.618465
    Oben rechts KachelX + 1 61899 KachelY 40409 -0.17434650 0.98817864 -9.989319 56.618465
    Unten links KachelX 61898 KachelY + 1 40410 -0.17439444 0.98815226 -9.992065 56.616954
    Unten rechts KachelX + 1 61899 KachelY + 1 40410 -0.17434650 0.98815226 -9.989319 56.616954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98817864-0.98815226) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dl = 168.066979999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98817864-0.98815226) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dr = 168.066979999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17439444--0.17434650) × cos(0.98817864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55021165391756 × 6371000     		do = 168.048801554479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17439444--0.17434650) × cos(0.98815226) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.550233681691696 × 6371000     		du = 168.055529403695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98817864)-sin(0.98815226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55021165391756-0.550233681691696)×R²
    abs(-0.17434650--0.17439444)×2.20277741357355e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20277741357355e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20277741357355e-05×40589641000000     		ar = 28244.019936158m²