Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61897 / 40475
↖ ↑ ↗
← N 56.518594°
W  9.994812°		 ← 168.49 m → N 56.518594°
W  9.992065°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 56.517079°
W  9.994812°		 ← 168.50 m →
28 394 m²		 N 56.517079°
W  9.992065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472240447998047 y=0.308803558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472240447998047 × 217)
    floor (0.472240447998047 × 131072)
    floor (61897.5)     		tx = 61897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308803558349609 × 217)
    floor (0.308803558349609 × 131072)
    floor (40475.5)     		ty = 40475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61897 / 40475 ti = "17/61897/40475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61897/40475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61897 ÷ 217
    61897 ÷ 131072     		x = 0.472236633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40475 ÷ 217
    40475 ÷ 131072     		y = 0.308799743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472236633300781 × 2 - 1) × π
    -0.0555267333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17444238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308799743652344 × 2 - 1) × π
    0.382400512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.20134664137823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17444238} λ = -0.17444238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20134664137823))-π/2
    2×atan(3.32459094133843)-π/2
    2×1.27861594248767-π/2
    2.55723188497534-1.57079632675     		φ = 0.98643556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17444238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.994812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98643556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.518594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61897 KachelY 40475 -0.17444238 0.98643556 -9.994812 56.518594
    Oben rechts KachelX + 1 61898 KachelY 40475 -0.17439444 0.98643556 -9.992065 56.518594
    Unten links KachelX 61897 KachelY + 1 40476 -0.17444238 0.98640911 -9.994812 56.517079
    Unten rechts KachelX + 1 61898 KachelY + 1 40476 -0.17439444 0.98640911 -9.992065 56.517079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98643556-0.98640911) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98643556-0.98640911) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17444238--0.17439444) × cos(0.98643556) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551666333098126 × 6371000     		do = 168.493098019569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17444238--0.17439444) × cos(0.98640911) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551688393921748 × 6371000     		du = 168.499835962948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98643556)-sin(0.98640911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551666333098126-0.551688393921748)×R²
    abs(-0.17439444--0.17444238)×2.20608236212172e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20608236212172e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20608236212172e-05×40589641000000     		ar = 28393.8367188025m²