Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61896 / 76838
↖ ↑ ↗
← S 29.625996°
W  9.997558°		 ← 265.44 m → S 29.625996°
W  9.994812°		 →
↑
265.48 m
↓
↑
265.48 m
↓
S 29.628384°
W  9.997558°		 ← 265.44 m →
70 469 m²		 S 29.628384°
W  9.994812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472232818603516 y=0.586231231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472232818603516 × 217)
    floor (0.472232818603516 × 131072)
    floor (61896.5)     		tx = 61896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586231231689453 × 217)
    floor (0.586231231689453 × 131072)
    floor (76838.5)     		ty = 76838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61896 / 76838 ti = "17/61896/76838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61896/76838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61896 ÷ 217
    61896 ÷ 131072     		x = 0.47222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76838 ÷ 217
    76838 ÷ 131072     		y = 0.586227416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17449031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586227416992188 × 2 - 1) × π
    -0.172454833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.541782839505875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17449031} λ = -0.17449031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541782839505875))-π/2
    2×atan(0.581710231355065)-π/2
    2×0.526862573824703-π/2
    1.05372514764941-1.57079632675     		φ = -0.51707118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17449031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.997558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51707118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.625996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61896 KachelY 76838 -0.17449031 -0.51707118 -9.997558 -29.625996
    Oben rechts KachelX + 1 61897 KachelY 76838 -0.17444238 -0.51707118 -9.994812 -29.625996
    Unten links KachelX 61896 KachelY + 1 76839 -0.17449031 -0.51711285 -9.997558 -29.628384
    Unten rechts KachelX + 1 61897 KachelY + 1 76839 -0.17444238 -0.51711285 -9.994812 -29.628384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51707118--0.51711285) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dl = 265.47956999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51707118--0.51711285) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dr = 265.47956999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17449031--0.17444238) × cos(-0.51707118) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869270728014436 × 6371000     		do = 265.442274126075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17449031--0.17444238) × cos(-0.51711285) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869250128265116 × 6371000     		du = 265.435983744805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51707118)-sin(-0.51711285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869270728014436-0.869250128265116)×R²
    abs(-0.17444238--0.17449031)×2.05997493192278e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05997493192278e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05997493192278e-05×40589641000000     		ar = 70468.6658210809m²