Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61894 / 77125
↖ ↑ ↗
← S 30.308874°
W 10.003052°		 ← 263.68 m → S 30.308874°
W 10.000305°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 30.311246°
W 10.003052°		 ← 263.67 m →
69 530 m²		 S 30.311246°
W 10.000305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472217559814453 y=0.588420867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472217559814453 × 217)
    floor (0.472217559814453 × 131072)
    floor (61894.5)     		tx = 61894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588420867919922 × 217)
    floor (0.588420867919922 × 131072)
    floor (77125.5)     		ty = 77125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61894 / 77125 ti = "17/61894/77125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61894/77125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61894 ÷ 217
    61894 ÷ 131072     		x = 0.472213745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77125 ÷ 217
    77125 ÷ 131072     		y = 0.588417053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472213745117188 × 2 - 1) × π
    -0.055572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17458619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588417053222656 × 2 - 1) × π
    -0.176834106445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.555540729696831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17458619} λ = -0.17458619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555540729696831))-π/2
    2×atan(0.573761927187649)-π/2
    2×0.520903337448989-π/2
    1.04180667489798-1.57079632675     		φ = -0.52898965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17458619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.003052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52898965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.308874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61894 KachelY 77125 -0.17458619 -0.52898965 -10.003052 -30.308874
    Oben rechts KachelX + 1 61895 KachelY 77125 -0.17453825 -0.52898965 -10.000305 -30.308874
    Unten links KachelX 61894 KachelY + 1 77126 -0.17458619 -0.52903104 -10.003052 -30.311246
    Unten rechts KachelX + 1 61895 KachelY + 1 77126 -0.17453825 -0.52903104 -10.000305 -30.311246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52898965--0.52903104) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52898965--0.52903104) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17458619--0.17453825) × cos(-0.52898965) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863317395659384 × 6371000     		do = 263.67935442412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17458619--0.17453825) × cos(-0.52903104) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.863296506986783 × 6371000     		du = 263.672974485833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52898965)-sin(-0.52903104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863317395659384-0.863296506986783)×R²
    abs(-0.17453825--0.17458619)×2.08886726017488e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08886726017488e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08886726017488e-05×40589641000000     		ar = 69530.2681325515m²