Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61893 / 77499
↖ ↑ ↗
← S 31.191658°
W 10.005799°		 ← 261.27 m → S 31.191658°
W 10.003052°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 31.194008°
W 10.005799°		 ← 261.27 m →
68 263 m²		 S 31.194008°
W 10.003052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472209930419922 y=0.591274261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472209930419922 × 217)
    floor (0.472209930419922 × 131072)
    floor (61893.5)     		tx = 61893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591274261474609 × 217)
    floor (0.591274261474609 × 131072)
    floor (77499.5)     		ty = 77499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61893 / 77499 ti = "17/61893/77499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61893/77499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61893 ÷ 217
    61893 ÷ 131072     		x = 0.472206115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77499 ÷ 217
    77499 ÷ 131072     		y = 0.591270446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472206115722656 × 2 - 1) × π
    -0.0555877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17463413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591270446777344 × 2 - 1) × π
    -0.182540893554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.573469130154732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17463413} λ = -0.17463413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573469130154732))-π/2
    2×atan(0.563566956426005)-π/2
    2×0.513199597742157-π/2
    1.02639919548431-1.57079632675     		φ = -0.54439713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17463413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.005799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54439713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.191658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61893 KachelY 77499 -0.17463413 -0.54439713 -10.005799 -31.191658
    Oben rechts KachelX + 1 61894 KachelY 77499 -0.17458619 -0.54439713 -10.003052 -31.191658
    Unten links KachelX 61893 KachelY + 1 77500 -0.17463413 -0.54443814 -10.005799 -31.194008
    Unten rechts KachelX + 1 61894 KachelY + 1 77500 -0.17458619 -0.54443814 -10.003052 -31.194008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54439713--0.54443814) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54439713--0.54443814) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17463413--0.17458619) × cos(-0.54439713) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855439674076862 × 6371000     		do = 261.273295480264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17463413--0.17458619) × cos(-0.54443814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855418434177401 × 6371000     		du = 261.266808268254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54439713)-sin(-0.54443814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855439674076862-0.855418434177401)×R²
    abs(-0.17458619--0.17463413)×2.12398994617891e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12398994617891e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12398994617891e-05×40589641000000     		ar = 68263.2570448723m²