Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61892 / 77730
↖ ↑ ↗
← S 31.732839°
W 10.008545°		 ← 259.71 m → S 31.732839°
W 10.005799°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
S 31.735175°
W 10.008545°		 ← 259.71 m →
67 459 m²		 S 31.735175°
W 10.005799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472202301025391 y=0.593036651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472202301025391 × 217)
    floor (0.472202301025391 × 131072)
    floor (61892.5)     		tx = 61892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593036651611328 × 217)
    floor (0.593036651611328 × 131072)
    floor (77730.5)     		ty = 77730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61892 / 77730 ti = "17/61892/77730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61892/77730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61892 ÷ 217
    61892 ÷ 131072     		x = 0.472198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77730 ÷ 217
    77730 ÷ 131072     		y = 0.593032836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.05560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17468206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593032836914062 × 2 - 1) × π
    -0.186065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.584542553966965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17468206} λ = -0.17468206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584542553966965))-π/2
    2×atan(0.557360765976645)-π/2
    2×0.508476900413406-π/2
    1.01695380082681-1.57079632675     		φ = -0.55384253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17468206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.008545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55384253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.732839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61892 KachelY 77730 -0.17468206 -0.55384253 -10.008545 -31.732839
    Oben rechts KachelX + 1 61893 KachelY 77730 -0.17463413 -0.55384253 -10.005799 -31.732839
    Unten links KachelX 61892 KachelY + 1 77731 -0.17468206 -0.55388330 -10.008545 -31.735175
    Unten rechts KachelX + 1 61893 KachelY + 1 77731 -0.17463413 -0.55388330 -10.005799 -31.735175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55384253--0.55388330) × R
    4.07699999999123e-05 × 6371000     		dl = 259.745669999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55384253--0.55388330) × R
    4.07699999999123e-05 × 6371000     		dr = 259.745669999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17468206--0.17463413) × cos(-0.55384253) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850509791873944 × 6371000     		do = 259.713396581514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17468206--0.17463413) × cos(-0.55388330) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850488347809973 × 6371000     		du = 259.706848378608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55384253)-sin(-0.55388330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850509791873944-0.850488347809973)×R²
    abs(-0.17463413--0.17468206)×2.14440639709768e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14440639709768e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14440639709768e-05×40589641000000     		ar = 67458.5797785827m²