Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6189 / 6288
↖ ↑ ↗
← S 68.911005°
E 91.977539°		 ← 1 758.25 m → S 68.911005°
E 92.021484°		 →
↑
1 757.57 m
↓
↑
1 757.57 m
↓
S 68.926811°
E 91.977539°		 ← 1 756.99 m →
3 089 132 m²		 S 68.926811°
E 92.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75555419921875 y=0.76763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75555419921875 × 213)
    floor (0.75555419921875 × 8192)
    floor (6189.5)     		tx = 6189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76763916015625 × 213)
    floor (0.76763916015625 × 8192)
    floor (6288.5)     		ty = 6288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6189 / 6288 ti = "13/6189/6288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6189/6288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6189 ÷ 213
    6189 ÷ 8192     		x = 0.7554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6288 ÷ 213
    6288 ÷ 8192     		y = 0.767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7554931640625 × 2 - 1) × π
    0.510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.60531089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767578125 × 2 - 1) × π
    -0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60531089} λ = 1.60531089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68124294347461))-π/2
    2×atan(0.186142467627794)-π/2
    2×0.184036200699174-π/2
    0.368072401398348-1.57079632675     		φ = -1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60531089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6189 KachelY 6288 1.60531089 -1.20272393 91.977539 -68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 6190 KachelY 6288 1.60607788 -1.20272393 92.021484 -68.911005
    Unten links KachelX 6189 KachelY + 1 6289 1.60531089 -1.20299980 91.977539 -68.926811
    Unten rechts KachelX + 1 6190 KachelY + 1 6289 1.60607788 -1.20299980 92.021484 -68.926811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20272393--1.20299980) × R
    0.000275869999999845 × 6371000     		dl = 1757.56776999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20272393--1.20299980) × R
    0.000275869999999845 × 6371000     		dr = 1757.56776999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60531089-1.60607788) × cos(-1.20272393) × R
    0.000766990000000023 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 1758.24630795878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60531089-1.60607788) × cos(-1.20299980) × R
    0.000766990000000023 × 0.359560197428659 × 6371000     		du = 1756.98849208627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20272393)-sin(-1.20299980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.359560197428659)×R²
    abs(1.60607788-1.60531089)×0.000257406650916336×R²
    0.000766990000000023×0.000257406650916336×6371000²
    0.000766990000000023×0.000257406650916336×40589641000000     		ar = 3089131.7138612m²