Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6189 / 10060
↖ ↑ ↗
← S 37.926867°
W 44.011230°		 ← 1 927.25 m → S 37.926867°
W 43.989258°		 →
↑
1 927.04 m
↓
↑
1 927.04 m
↓
S 37.944198°
W 44.011230°		 ← 1 926.79 m →
3 713 440 m²		 S 37.944198°
W 43.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377777099609375 y=0.614044189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377777099609375 × 214)
    floor (0.377777099609375 × 16384)
    floor (6189.5)     		tx = 6189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614044189453125 × 214)
    floor (0.614044189453125 × 16384)
    floor (10060.5)     		ty = 10060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6189 / 10060 ti = "14/6189/10060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6189/10060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6189 ÷ 214
    6189 ÷ 16384     		x = 0.37774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10060 ÷ 214
    10060 ÷ 16384     		y = 0.614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76814088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614013671875 × 2 - 1) × π
    -0.22802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.716369027922119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76814088} λ = -0.76814088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.716369027922119))-π/2
    2×atan(0.48852285235796)-π/2
    2×0.454423806098617-π/2
    0.908847612197233-1.57079632675     		φ = -0.66194871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76814088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.011230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66194871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.926867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6189 KachelY 10060 -0.76814088 -0.66194871 -44.011230 -37.926867
    Oben rechts KachelX + 1 6190 KachelY 10060 -0.76775738 -0.66194871 -43.989258 -37.926867
    Unten links KachelX 6189 KachelY + 1 10061 -0.76814088 -0.66225118 -44.011230 -37.944198
    Unten rechts KachelX + 1 6190 KachelY + 1 10061 -0.76775738 -0.66225118 -43.989258 -37.944198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66194871--0.66225118) × R
    0.000302470000000055 × 6371000     		dl = 1927.03637000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66194871--0.66225118) × R
    0.000302470000000055 × 6371000     		dr = 1927.03637000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76814088--0.76775738) × cos(-0.66194871) × R
    0.000383499999999981 × 0.788795945327263 × 6371000     		do = 1927.24817410518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76814088--0.76775738) × cos(-0.66225118) × R
    0.000383499999999981 × 0.788609994503366 × 6371000     		du = 1926.7938444551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66194871)-sin(-0.66225118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788795945327263-0.788609994503366)×R²
    abs(-0.76775738--0.76814088)×0.000185950823897718×R²
    0.000383499999999981×0.000185950823897718×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185950823897718×40589641000000     		ar = 3713439.59894989m²