Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61889 / 77734
↖ ↑ ↗
← S 31.742183°
W 10.016785°		 ← 259.69 m → S 31.742183°
W 10.014038°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
S 31.744519°
W 10.016785°		 ← 259.68 m →
67 452 m²		 S 31.744519°
W 10.014038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472179412841797 y=0.593067169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472179412841797 × 217)
    floor (0.472179412841797 × 131072)
    floor (61889.5)     		tx = 61889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593067169189453 × 217)
    floor (0.593067169189453 × 131072)
    floor (77734.5)     		ty = 77734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61889 / 77734 ti = "17/61889/77734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61889/77734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61889 ÷ 217
    61889 ÷ 131072     		x = 0.472175598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77734 ÷ 217
    77734 ÷ 131072     		y = 0.593063354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472175598144531 × 2 - 1) × π
    -0.0556488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17482587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593063354492188 × 2 - 1) × π
    -0.186126708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.584734301565445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17482587} λ = -0.17482587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584734301565445))-π/2
    2×atan(0.557253903633908)-π/2
    2×0.508395362920181-π/2
    1.01679072584036-1.57079632675     		φ = -0.55400560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17482587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.016785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55400560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.742183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61889 KachelY 77734 -0.17482587 -0.55400560 -10.016785 -31.742183
    Oben rechts KachelX + 1 61890 KachelY 77734 -0.17477794 -0.55400560 -10.014038 -31.742183
    Unten links KachelX 61889 KachelY + 1 77735 -0.17482587 -0.55404637 -10.016785 -31.744519
    Unten rechts KachelX + 1 61890 KachelY + 1 77735 -0.17477794 -0.55404637 -10.014038 -31.744519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55400560--0.55404637) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dl = 259.745670000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55400560--0.55404637) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dr = 259.745670000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17482587--0.17477794) × cos(-0.55400560) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850424012397128 × 6371000     		do = 259.687202786341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17482587--0.17477794) × cos(-0.55404637) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.850402562679014 × 6371000     		du = 259.680652856875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55400560)-sin(-0.55404637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850424012397128-0.850402562679014)×R²
    abs(-0.17477794--0.17482587)×2.14497181131312e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14497181131312e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14497181131312e-05×40589641000000     		ar = 67451.7758296969m²