Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61885 / 77119
↖ ↑ ↗
← S 30.294647°
W 10.027771°		 ← 263.72 m → S 30.294647°
W 10.025024°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 30.297018°
W 10.027771°		 ← 263.71 m →
69 540 m²		 S 30.297018°
W 10.025024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472148895263672 y=0.588375091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472148895263672 × 217)
    floor (0.472148895263672 × 131072)
    floor (61885.5)     		tx = 61885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588375091552734 × 217)
    floor (0.588375091552734 × 131072)
    floor (77119.5)     		ty = 77119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61885 / 77119 ti = "17/61885/77119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61885/77119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61885 ÷ 217
    61885 ÷ 131072     		x = 0.472145080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77119 ÷ 217
    77119 ÷ 131072     		y = 0.588371276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472145080566406 × 2 - 1) × π
    -0.0557098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17501762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588371276855469 × 2 - 1) × π
    -0.176742553710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.55525310829911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17501762} λ = -0.17501762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55525310829911))-π/2
    2×atan(0.573926977129915)-π/2
    2×0.521027500736603-π/2
    1.04205500147321-1.57079632675     		φ = -0.52874133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17501762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.027771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52874133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.294647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61885 KachelY 77119 -0.17501762 -0.52874133 -10.027771 -30.294647
    Oben rechts KachelX + 1 61886 KachelY 77119 -0.17496968 -0.52874133 -10.025024 -30.294647
    Unten links KachelX 61885 KachelY + 1 77120 -0.17501762 -0.52878272 -10.027771 -30.297018
    Unten rechts KachelX + 1 61886 KachelY + 1 77120 -0.17496968 -0.52878272 -10.025024 -30.297018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52874133--0.52878272) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52874133--0.52878272) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17501762--0.17496968) × cos(-0.52874133) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863442686546292 × 6371000     		do = 263.717621486122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17501762--0.17496968) × cos(-0.52878272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863421806747373 × 6371000     		du = 263.711244258086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52874133)-sin(-0.52878272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863442686546292-0.863421806747373)×R²
    abs(-0.17496968--0.17501762)×2.08797989194043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08797989194043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08797989194043e-05×40589641000000     		ar = 69540.3593491692m²