Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61885 / 39364
↖ ↑ ↗
← N 58.164908°
W 10.027771°		 ← 161.10 m → N 58.164908°
W 10.025024°		 →
↑
161.06 m
↓
↑
161.06 m
↓
N 58.163459°
W 10.027771°		 ← 161.11 m →
25 948 m²		 N 58.163459°
W 10.025024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472148895263672 y=0.300327301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472148895263672 × 217)
    floor (0.472148895263672 × 131072)
    floor (61885.5)     		tx = 61885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300327301025391 × 217)
    floor (0.300327301025391 × 131072)
    floor (39364.5)     		ty = 39364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61885 / 39364 ti = "17/61885/39364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61885/39364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61885 ÷ 217
    61885 ÷ 131072     		x = 0.472145080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39364 ÷ 217
    39364 ÷ 131072     		y = 0.300323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472145080566406 × 2 - 1) × π
    -0.0557098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17501762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300323486328125 × 2 - 1) × π
    0.39935302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25460453685611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17501762} λ = -0.17501762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25460453685611))-π/2
    2×atan(3.506451427812)-π/2
    2×1.29298273962399-π/2
    2.58596547924798-1.57079632675     		φ = 1.01516915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17501762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.027771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01516915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.164908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61885 KachelY 39364 -0.17501762 1.01516915 -10.027771 58.164908
    Oben rechts KachelX + 1 61886 KachelY 39364 -0.17496968 1.01516915 -10.025024 58.164908
    Unten links KachelX 61885 KachelY + 1 39365 -0.17501762 1.01514387 -10.027771 58.163459
    Unten rechts KachelX + 1 61886 KachelY + 1 39365 -0.17496968 1.01514387 -10.025024 58.163459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01516915-1.01514387) × R
    2.52800000000164e-05 × 6371000     		dl = 161.058880000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01516915-1.01514387) × R
    2.52800000000164e-05 × 6371000     		dr = 161.058880000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17501762--0.17496968) × cos(1.01516915) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.527476234365703 × 6371000     		do = 161.104819213639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17501762--0.17496968) × cos(1.01514387) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.527497711321355 × 6371000     		du = 161.111378828712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01516915)-sin(1.01514387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527476234365703-0.527497711321355)×R²
    abs(-0.17496968--0.17501762)×2.14769556518002e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14769556518002e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14769556518002e-05×40589641000000     		ar = 25947.8899885162m²