Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61880 / 76136
↖ ↑ ↗
← S 27.936180°
W 10.041504°		 ← 269.83 m → S 27.936180°
W 10.038757°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
S 27.938607°
W 10.041504°		 ← 269.83 m →
72 804 m²		 S 27.938607°
W 10.038757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472110748291016 y=0.580875396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472110748291016 × 217)
    floor (0.472110748291016 × 131072)
    floor (61880.5)     		tx = 61880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580875396728516 × 217)
    floor (0.580875396728516 × 131072)
    floor (76136.5)     		ty = 76136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61880 / 76136 ti = "17/61880/76136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61880/76136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61880 ÷ 217
    61880 ÷ 131072     		x = 0.47210693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76136 ÷ 217
    76136 ÷ 131072     		y = 0.58087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.0557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17525731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.1617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.508131135972595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17525731} λ = -0.17525731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508131135972595))-π/2
    2×atan(0.601618872712966)-π/2
    2×0.541608997742973-π/2
    1.08321799548595-1.57079632675     		φ = -0.48757833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17525731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48757833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.936180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61880 KachelY 76136 -0.17525731 -0.48757833 -10.041504 -27.936180
    Oben rechts KachelX + 1 61881 KachelY 76136 -0.17520937 -0.48757833 -10.038757 -27.936180
    Unten links KachelX 61880 KachelY + 1 76137 -0.17525731 -0.48762068 -10.041504 -27.938607
    Unten rechts KachelX + 1 61881 KachelY + 1 76137 -0.17520937 -0.48762068 -10.038757 -27.938607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48757833--0.48762068) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48757833--0.48762068) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17525731--0.17520937) × cos(-0.48757833) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883469970877867 × 6371000     		do = 269.83446962313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17525731--0.17520937) × cos(-0.48762068) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883450129627652 × 6371000     		du = 269.828409594601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48757833)-sin(-0.48762068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883469970877867-0.883450129627652)×R²
    abs(-0.17520937--0.17525731)×1.98412502153689e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98412502153689e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98412502153689e-05×40589641000000     		ar = 72803.7199198666m²