Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6188 / 6283
↖ ↑ ↗
← S 68.831802°
E 91.933594°		 ← 1 764.55 m → S 68.831802°
E 91.977539°		 →
↑
1 763.94 m
↓
↑
1 763.94 m
↓
S 68.847665°
E 91.933594°		 ← 1 763.29 m →
3 111 440 m²		 S 68.847665°
E 91.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75543212890625 y=0.76702880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75543212890625 × 213)
    floor (0.75543212890625 × 8192)
    floor (6188.5)     		tx = 6188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76702880859375 × 213)
    floor (0.76702880859375 × 8192)
    floor (6283.5)     		ty = 6283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6188 / 6283 ti = "13/6188/6283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6188/6283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6188 ÷ 213
    6188 ÷ 8192     		x = 0.75537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6283 ÷ 213
    6283 ÷ 8192     		y = 0.7669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75537109375 × 2 - 1) × π
    0.5107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60454390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.533935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.677407991505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60454390} λ = 1.60454390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.677407991505))-π/2
    2×atan(0.186857685587362)-π/2
    2×0.184727377914781-π/2
    0.369454755829563-1.57079632675     		φ = -1.20134157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60454390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20134157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.831802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6188 KachelY 6283 1.60454390 -1.20134157 91.933594 -68.831802
    Oben rechts KachelX + 1 6189 KachelY 6283 1.60531089 -1.20134157 91.977539 -68.831802
    Unten links KachelX 6188 KachelY + 1 6284 1.60454390 -1.20161844 91.933594 -68.847665
    Unten rechts KachelX + 1 6189 KachelY + 1 6284 1.60531089 -1.20161844 91.977539 -68.847665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20134157--1.20161844) × R
    0.000276869999999985 × 6371000     		dl = 1763.9387699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20134157--1.20161844) × R
    0.000276869999999985 × 6371000     		dr = 1763.9387699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60454390-1.60531089) × cos(-1.20134157) × R
    0.000766990000000023 × 0.361107033087674 × 6371000     		do = 1764.54709415478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60454390-1.60531089) × cos(-1.20161844) × R
    0.000766990000000023 × 0.360848831226474 × 6371000     		du = 1763.28539249256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20134157)-sin(-1.20161844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361107033087674-0.360848831226474)×R²
    abs(1.60531089-1.60454390)×0.000258201861199625×R²
    0.000766990000000023×0.000258201861199625×6371000²
    0.000766990000000023×0.000258201861199625×40589641000000     		ar = 3111440.26850397m²