Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61879 / 76131
↖ ↑ ↗
← S 27.924048°
W 10.044250°		 ← 269.81 m → S 27.924048°
W 10.041504°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
S 27.926474°
W 10.044250°		 ← 269.80 m →
72 797 m²		 S 27.926474°
W 10.041504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472103118896484 y=0.580837249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472103118896484 × 217)
    floor (0.472103118896484 × 131072)
    floor (61879.5)     		tx = 61879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580837249755859 × 217)
    floor (0.580837249755859 × 131072)
    floor (76131.5)     		ty = 76131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61879 / 76131 ti = "17/61879/76131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61879/76131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61879 ÷ 217
    61879 ÷ 131072     		x = 0.472099304199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76131 ÷ 217
    76131 ÷ 131072     		y = 0.580833435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472099304199219 × 2 - 1) × π
    -0.0558013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17530524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580833435058594 × 2 - 1) × π
    -0.161666870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.507891451474495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17530524} λ = -0.17530524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507891451474495))-π/2
    2×atan(0.601763088712999)-π/2
    2×0.541714880715036-π/2
    1.08342976143007-1.57079632675     		φ = -0.48736657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17530524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.044250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48736657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.924048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61879 KachelY 76131 -0.17530524 -0.48736657 -10.044250 -27.924048
    Oben rechts KachelX + 1 61880 KachelY 76131 -0.17525731 -0.48736657 -10.041504 -27.924048
    Unten links KachelX 61879 KachelY + 1 76132 -0.17530524 -0.48740892 -10.044250 -27.926474
    Unten rechts KachelX + 1 61880 KachelY + 1 76132 -0.17525731 -0.48740892 -10.041504 -27.926474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48736657--0.48740892) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dl = 269.811850000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48736657--0.48740892) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dr = 269.811850000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17530524--0.17525731) × cos(-0.48736657) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883569158043391 × 6371000     		do = 269.80847174553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17530524--0.17525731) × cos(-0.48740892) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883549324716522 × 6371000     		du = 269.802415400575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48736657)-sin(-0.48740892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883569158043391-0.883549324716522)×R²
    abs(-0.17525731--0.17530524)×1.98333268690565e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.98333268690565e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.98333268690565e-05×40589641000000     		ar = 72796.7058813794m²